[原创]过度筛除合数法证明不存在最大的孪生质数

tsyxzh

[watermark]　　孪生质数，即是象3和5、5和7、11和13、17和19这样的仅仅相差2的一对质数。随着数的增大，质数的密度越来越小，是否当数大到一定程度， 更大的数中就不再有这样成对的质数了呢？如果没有了，那就是说存在一对最大的孪生质数，如果无论一对孪生质数有多大，总能找到更大的孪生质数，就是说不存在最大的孪生质数。是否存在最大的孪生质数的问题一直是数学界的一个难题。
　　我证明不存在最大的孪生质数（即存在无穷多孪生质数）的方法是删除所有奇数中的所有合数及落单（前后相邻的奇数都是合数）的奇数——删除过程中只要发现落单就不管是不是质数都立即删除，然后再适当舍弃一些孪生质数，以便用一个简单表达式表达在多大范围内的奇数中至少有多少孪生质数，只要这个表达式的值随奇数范围的增大而增大，就证明了存在无穷多个孪生质数。
　　筛除的基本方法是，第一步，先把一定范围内的奇数中1和所有3的倍数删除，留下一些非3的倍数的奇数，每两个相邻奇数构成一个数组，计算某个范围内有多少个奇数数组；第二步，将这些数组中所有含有合数的数组筛除，并适当舍弃一些没被筛除的数组（即孪生质数），得到一个在某个范围内至少有多组孪生质数的表达式，只要这个表达式的值随数的范围增大而无限增大，就证明不存在最大的孪生质数。
下面进行详细的证明：
　　为了计算方便，我们取偶数6n+2来计算小于6n+2的所有奇数中至少有多少孪生质数。
　　在继续证明前，首先说明：因为书写不便，n的平方根按电脑输入格式书写成n^(1/2)。
　　第一步：计算删除所有3的倍数后，相邻奇数数组个数。小于6n+2的所有奇数一共有3n+1个，扣除奇数1，还有3n个，删除所有3的倍数（包括3），剩余2n个奇数，即n个奇数数组。这些数组可以表示为(a,a+2)格式，其中a=6m-1（m为小于等于n的自然数）。
　　第二步：筛除以上奇数数组中包含合数的数组，再人为减小剩余数组（即质数数组）的个数，用一个简单表达式表示剩余数组的个数。
　　要筛除包含合数的数组，我们首先来分析一下怎样用较少的次数来筛除小于某一值的所有奇数中的合数。任何一个合数h，如果其最小的质因数为c，且d=h/c，则最小质因数c的可能出现的最大值为c=d，c=h^(1/2)，也就是说，任何一个合数h，其至少有一个质因数小于或等于h^(1/2)。所以，要筛除小于等于6n+1的所有奇数中的合数，只需将这些奇数中所有小于等于(6n+1)^(1/2)的质数的倍数筛除即可。对第一步中的奇数数组，要筛除其中含有合数的数组(a,a+2)，只要把a为合数或a+2为合数的数组筛除，所有这些合数，都是5～(6n+1)^(1/2)的某个质数的倍数。在计算中，我们先假定n→∝，以便忽略计算中的小数部分。
　　先筛选5的倍数。因为3和5互质，所以任意15个连续的奇数，其中3的倍数有5个(占1/3)，非3的倍数有10个(占2/3)，5的倍数有3个(占1/5)，其中3的倍数中5的倍数有一个，占1/5，非3的倍数中，5的倍数有两个，也占1/5。也就是说，在这些奇数数组的项中，5的倍数还是占1/5，也就是说，在第一步中的n个奇数数组的2n个项中，5的倍数有2n/5个，因为这些5的倍数不可能有两个出现在同一个数组中，所以，2n/5个质数就会筛除2n/5个数组，剩余3n/5个数组。
　　接着筛选7的倍数，若单独用7筛选n个数组，则可以筛除2n/7个，若同时用5和7筛选，则因为3和5、7都是质数，故在每105个奇数中，被3筛选后剩下的70个奇数35个数组中，5可以筛除14个数组28个奇数，剩下21个数组42个奇数，不管是被筛除的还是剩下的，7的倍数均占1/7，也就是说在剩下的21个数组42个奇数中，7的倍数有6个，也就是7可以再筛除6个数组12个数，剩下15个数组。 所以经过5和7筛除，剩余n(1-2/5)(1-2/7)=n*3/5*5/7个。
　　同理，经任意小于等于(6n+1)^(1/2)的质数z筛选，都可以筛除数组个数的2/z，剩余(z-2)/z。
　　这样，经过所有小于等于(6n+1)^(1/2)的质数筛选，假定最后一个质数就是(6n+1)^(1/2)，剩余的数组个数为n(3/5)(5/7)(9/11)(11/13)……((6n+1)^(1/2)-2)/(6n+1)^(1/2)。由于这个表达式不便于写成简单的表达式，而且，当n不是∝时，计算中会出现小数，对小数的取舍过程及其他因素引起的误差会使最后的结果(即计算出的剩余数组个数)大于实际值。现在假定对于任意小于等于(6n+1)^(1/2)的奇合数h，同样能筛除2/h的数组(实际上能被合数h筛选的数组早被h的质因数筛除，我们只是人为地减少计数以达到消除不利于证明的误差并且简化表达式的目的)，剩余(h-2)/h组，这样就得到一个比实际剩余组数更小的表达式f(n)=n(3/5)(5/7)(7/9)(9/11)(11/13)(13/15)……((6n+1)^(1/2)-2)/(6n+1)^(1/2) =3n/(6n+1)^(1/2)。小于6n+2的所有奇数中，孪生质数至少有3n/(6n+1)^(1/2)组。
　　为了将这个表达式进一步简化，再来考虑一下其它因素。首先在上面计算有多少组相邻奇数的时候，我将所有3的倍数（包括3）都删除了，这样实际上将孪生质数3、5删除了，同时也使能够用于筛除的奇数数组少了一组。其次，在筛除过程中，孪生质数5、7被质数5就筛除了，所以在计算过程中，还可以将奇数总数适当增加。现在，假定对任意不小于7的自然数n，小于等于n的左右奇数，有n/6组不含3的倍数的相邻奇数，经过所有小于等于n^(1/2)的奇质数筛除，剩余(n/6)/(3/n^(1/2))=n^(1/2)/2组。也就是说，对任意不小于7的自然数n，在不小于n的所有质数中，至少存在n^(1/2)/2对孪生质数，当n趋向无穷大时，存在无穷多组孪生质数，即不存在最大孪生质数。这种方法在简单筛除含合数的奇数数对的基础上人为减少了剩余数对组数（忽略了部分孪生质数），我称其为“过度筛除合数法”。[/watermark]