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本帖最后由 elim 于 2024-1-27 21:18 编辑
1+1+1+.... 不是有限次加法可以求出的,所以它不等于 1,2,3, .... 中的任何一个。
所以需要对非有限个正数的和给出一个定义,让后根据定义看看这个无穷和是什么。
标准分析考察了部分和序列的集合 \(S=\{s_n\mid s_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_n,\;n\in\mathbb{N}^+\}\)
并定义当\(S\)上有界时\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n = \sup S, \;\;S\)无上界时称级数\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) 发散,
'无穷和'不存在或不是实数.
由于\(\infty\)不是实数,所以就有称发散正项级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n=\infty\) 的传统。
这还是在表述相应的有限和所成的集合无上界.
门外汉声称数学大厦已倒。可是数学的门外汉说话不算这点我们也都知道。 |
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