三角函数与双曲函数的有理分式级数

luyuanhong

三角函数与双曲函数的有理分式级数

原创 sinarcsin 形貌 2024-02-10 22:41 四川

用 n 倍角公式（用棣莫弗公式推导三角函数的 n 倍角公式）或泰勒公式（泰勒中值定理）可以将三角函数或双曲函数（三角函数的近亲——双曲函数）展开成幂级数（泰勒级数与幂级数；简单初等函数的幂级数展开式；用三角函数的 n 倍角公式推导幂级数展开式）。此外，三角函数或双曲函数也可以展开成无穷连分式（连分式；连分数与渐进分数）。本文再给出这两类函数的有理分式级数。

例如，余割、正割、余切、正切函数，可以展开为以下各项为有理分式的无穷级数



此外还有



根据三角函数与双曲函数之间的关系（三角函数的近亲——双曲函数）：

sinh(x) = -i sin(ix)

cosh(x) = cos(ix)

可以将上述无穷级数转换成双曲函数的无穷级数。例如，



此外，一些由双曲函数和三角函数通过有理运算得到的函数也可以展开成有理分式级数，例如



函数的连分式与有理分式级数有一些特殊的性质和用途。例如，幂级数的前有限项和不能反映函数在无穷间断点处极限为无穷大这一性质，有理分式级数则可以。甚至在趋于无穷间断点时有理分式级数前特定的有限项和还可能跟原来的函数是等价无穷大（无穷小量与无穷大量）。