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题 4 个相同的莲雾、7 个相同的苹果、5 个相同的梨,全部分给甲乙两人,在下列三种条件下:
(1)任意分;(2)各种水果每人至少一个;(3)每人至少有一个水果,分别求分法种数。
解(1)一般来说,n 个相同的物品,任意分给甲乙两人,可以分给甲 0,1,2,…,n 个,剩下的留
给乙,有 n + 1 种分法。
所以,4 个相同的莲雾,任意分给甲乙两人,有 4 + 1 = 5 种分法;7 个相同的苹果,任意分
给甲乙两人,有 7 + 1 = 8 种分法;5 个相同的梨,任意分给甲乙两人,有 5 + 1 = 6 种分法。
总之,三种水果任意分给甲乙两人,共有 5 × 8 × 6 = 240 种分法。
(2)要求各种水果每人至少一个,可以先给每人一个莲雾、一个苹果、一个梨,剩下 2 个莲雾、
5 个苹果、3 个梨,任意分给甲乙两人。
按照上面(1)中的计算方法,可知这时的分法种数为
( 2 + 1)×( 5 + 1 )×( 3 + 1 ) = 3 × 6 × 4 = 72 。
(3)要求每人至少有一个水果,可以考虑相反的情形。相反的情形只有 2 种:或者水果全部分给甲,
或者水果全部分给乙。
从(1)算出的分法总数 240 中,扣除这 2 种相反的情形,就得到在每人至少有一个水果时,
分法种数为 240 - 2 = 238 。 |
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