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重要命题讨论:勾股数完全公式猜想

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发表于 2021-2-12 10:23 | 显示全部楼层 |阅读模式
设m,b为正整数且m>1,则x=m^2*b-b,y=2mb,z=m^2*b+b,而x,y,z就是全部勾股数,或者写成则x=bm^2-b,y=2mb,z=bm^2+b.

此公式简单,且仅仅有两个变量,就是只有两个字母。

例如:m=2,b=1,则得到勾股数3,4,5.
  m=2,b=2,则得到勾股数6,8,10.
m=2,b=5,则得到勾股数15,20,25.
m=2,b=10,则得到勾股数30,40,50.
m=2,b=100,则得到勾股数300,400,500.
m=3,b=1,则得到勾股数8,6,10.
……………………

欢迎讨论欢迎批评!
 楼主| 发表于 2021-2-12 11:08 | 显示全部楼层
当x+y=2021有1组方程x^2+y^2=z^2的解: /解/1505/516/1591.
以前的所有公式都不能得到这一组解,咱的公式能得到这个值,哈哈!
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 楼主| 发表于 2021-2-12 13:50 | 显示全部楼层
y是偶数,例如7,24,25就没有包括。

这个应该是能算出来的,此时原来的勾股数公式就可以,所以,我的公式也能算出来。原来的公式:x=a^2-b^2,y=2ab,z=a^2+b^2,当a=4,b=3时则有x=7,y=24,z=25.所以,我的公式改进一下也能算出来。

的确要改进,当m=4/3,b=9时就得到了7,24,25.
此时公式为:x=b^2*m^2/b^2-b^2=m^2-b^2,y=2mb,z=m^2+b^2.
这就是原始公式了。(考虑一下,二者如何合并为一个公式)
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 楼主| 发表于 2021-2-12 13:56 | 显示全部楼层
就是公式中的m=m1/b1,b=b1^2.  或者说m写作m/b,b写作b^2。
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 楼主| 发表于 2021-2-14 15:44 | 显示全部楼层
当x+y=1002有3组解: /解/858/144/870其中(x + z) / 2=864其方根为:29.3938769133981
/解/144/858/870其中(x + z) / 2=507其方根为:22.5166604983954
/解/0/1002/1002其中(x + z) / 2=501其方根为:22.3830292855994
当x+y=1004有1组解: /解/0/1004/1004其中(x + z) / 2=502其方根为:22.4053565024081
当方根为整数时可以用原来的勾股数公式计算,当方根不是整数时可以用我的新公式计算。
其中的y从1~b^2<=(x+y)/2
x从b^2~(x+y)内的最大的平方数。
用公式算比不用公式的穷举法计算次数少,计算量小。
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发表于 2021-2-14 21:05 | 显示全部楼层
前人早已通透的研究完毕,其通解为x=m^2-n^2 , y=2mn , z=m^2+n^2。研究勾股数的早就该开辟新课题了。
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 楼主| 发表于 2021-2-14 23:41 | 显示全部楼层
波斯猫猫 发表于 2021-2-14 13:05
前人早已通透的研究完毕,其通解为x=m^2-n^2 , y=2mn , z=m^2+n^2。研究勾股数的早就该开辟新课题了。

这个不是完全公式,比如当x+y=2021有1组解: /解/1505/516/1591其中(x + z) / 2=1548其方根为:39.344631145812
这组解上面的公式是弄不出来的。
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 楼主| 发表于 2021-2-14 23:45 | 显示全部楼层
而1548/43=36,所以,用新公式当m=6,b=43时,就得到这组解。

点评

cz1
兴趣是吾师  发表于 2023-2-6 21:58
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发表于 2021-2-15 02:41 | 显示全部楼层
最完整的通项是 \((x,y,z)=k(n^2-m^2,2mn,m^2+n^n)\)
\(\small\;(k,m,n\in\mathbb{N}^+,m< n,\,\gcd(m,n)=1,\;x\) 与\(\,y\) 的次序忽略\()\).

据此楼主可找到许多在你那个通项中不会出现的勾股数组.
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 楼主| 发表于 2021-2-15 07:03 | 显示全部楼层
elim 发表于 2021-2-14 18:41
最完整的通项是 \((x,y,z)=k(n^2-m^2,2mn,m^2+n^n)\)
\(\small\;(k,m,n\in\mathbb{N}^+,m< n,\,\gcd(m,n)= ...

当x+y=93有1组解: /解/21/72/75其中(x + z) / 2=48其方根为:6.92820323027551
新公式仍然是不完全的,不能得到这组解,当a=48,b=27,则公式:x=a-b,y=2(ab)^(1/2),z=a+b,就得到x+y=93的一组解。
该组解无法用新公式表示。
当t=3,a=4,b=3,则x=t(a^2-b^2),y=t(2ab),z=t(a^2+b^2),就得到这组解。
但这样就是3元方程了,程序要3层循环的,计算量太大。
旧公式也不是完全公式,比如当x+y=2021有1组解: /解/1505/516/1591其中(x + z) / 2=1548其方根为:39.344631145812。
旧公式能得到这组解吗,如何得到?
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