试证\((1+\frac{1}{n})^n< e<(1+\frac{1}{n})^{n+1}\;(\forall n)\)

elim

上贴不是严格的证明。

王守恩

虽然没有严格的证明，但数据还是靠谱的。

\(\big(\frac{n+1}{n}\big)^n<\big(\frac{2n^2+n+1}{2n^2-n+1}\big)^n< e<\big(\frac{2n^2+n-1}{2n^2-n-1}\big)^n<\big(\frac{n}{n-1}\big)^n\)

王守恩

张狂一点，教科书应该这样写！

\(\big(\frac{n+a}{n}\big)^n<\big(\frac{2n^2+an+1}{2n^2-an+1}\big)^n< e^a<\big(\frac{2n^2+an-1}{2n^2-an-1}\big)^n<\big(\frac{n}{n-a}\big)^n\)

王守恩

更应该有：

\(\big(\frac{n+a}{n}\big)^n<A_{+①}^a<\big(\frac{2n^2+an+1}{2n^2-an+1}\big)^n<B_{+②}^a< e^a<B_{-②}^a<\big(\frac{2n^2+an-1}{2n^2-an-1}\big)^n<A_{-①}^a<\big(\frac{n}{n-a}\big)^n\)

\(其中:  A_{+①}^a与A_{-①}^a是相似的一对,  B_{+②}^a与B_{-②}^a是相似的一对。\)