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介 绍 复 斜 率 解 析 几 何

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发表于 2023-11-17 14:24 | 显示全部楼层 |阅读模式
假定 A 和 B 是复平面上的两个点。它们的坐标是 (XA, YA) 和 (XB, YB),用复数 a 和 b 来表示 A、B 点的坐标,称为复数坐标或复坐标,可写成:\(a=XA + i YA; b=XB + i YB;\)
假定  A 和 B 共轭点是 \(\overline{A}\) 和  \(\overline{B}\) ,那么它们的共轭复坐标为
\(\overline{a}=XA - i YA\) 和  \(\overline{b}=XB - i YB\)。
AB 是一条线段,在笛卡尔坐标系中,AB 对于横坐标轴的倾斜角的正切,叫做 AB 线的斜率。现在引入一个复斜率的概念,这个概念可能是某个外国人最先提出来的。AB 的复斜率 kAB 的定义是:
\(kAB=\frac{a-b}{\overline{a}-\overline{b}} \)。
对于复斜率而言,它也是直线对实轴倾角的函数,见下图,它可以认为是复斜率的另一个定义:

根据上面的公式,当已知两条相交直线的复斜率时,它们的交角就可以通过复斜率之比算出来。

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 楼主| 发表于 2023-11-17 14:37 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2023-11-25 10:11 编辑

如果直线 AB  与实轴平行,那么 AB  的复斜率等于  1,如果 AB  与虚轴平行,那么 AB  的复斜率等于 - 1。
不存在复斜率等于零的直线和复斜率等于无穷大的直线。这一点是与笛卡尔解析几何中斜率不同之处,后者当直线与横坐标轴平行时,斜率为 0,直线与纵坐标轴平行时,斜率为无穷大。
当两条直线互相垂直时,它们的复斜率互为相反数。
当两条直线互相平行时,它们的复斜率相等。
当直线 L 与横坐标轴平行或者垂直时,那么直线 AB 关于 L 的镜像直线 CD 的复斜率等于 AB 复斜率的倒数。
如果三点 A、B、C  位于同一条折线上,当复斜率  kAB = kBC 或者  kAB = kAC 时三点共线。
如果 ∠ABC 的平分线为 BM,则角平分线 BM 的复斜率的平方等于该角两边复斜率的乘积。
即  \(kBM^2 = kAB × kBC\)。

上面这些复斜率的基本性质,我就不逐个证明了,友友们可自行证明。


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 楼主| 发表于 2023-11-17 15:15 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2023-11-17 15:58 编辑

在复平面中,已知直线 AB 和直线 CD,若已知 A、B、C、D 的复坐标 a、b、c、d,如何求这二直线的交点 Z 的坐标 z ?
因为 Z 点在直线 AB 上,所以 kAB=kAZ -------①,
同样,因为 Z 点在直线 CD 上,所以 kCD=kCZ -------②,
①、② 两个方程联立,借助于 mathematica 这个计算软件,就可以解出这个方程组:


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 楼主| 发表于 2023-11-17 15:38 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2023-11-17 15:58 编辑

在复平面中,已知直线 AB 和直线外的一点 P,若已知 A、B、P 各点的复坐标 a、b、p,如果 P 点到直线 AB 的垂足为 Q 点,如何求 Q 点的复坐标 ?
因为 Q 点是垂足,所以 Q 点在直线 AB 上,因此有 kAB=kAQ -------①
因为 PQ 垂直于 AB,因此 kAB= - kPQ -------②

联立上面两个方程,借助于 mathematica 计算软件求解如下:

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 楼主| 发表于 2023-11-17 16:21 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2023-11-17 16:23 编辑

在复平面中,已知直线 AB 和直线外的一点 P,若已知 A、B、P 各点的复坐标 a、b、p,求 P 点关于直线 AB 的镜像点 Q 的复坐标。
设镜像点 Q 与 P 点连线 PQ 与 AB 的交点为 E,则 E 点是 PQ 的中点。
\(e=\frac{p+q}{2}, \overline{e}=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\)  -------①
由于 E 点在直线 AB 上,因此有 kAB=kAE -------②
因为 PQ 垂直于 AB,因此 kAB= - kPQ -------③

借助于 mathematica 计算软件求解 Q 点的坐标如下:

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 楼主| 发表于 2023-11-17 16:26 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2023-11-17 22:32 编辑

在复平面中,已知直线 AB 两个端点的坐标,求 AB 的长度。



可见 AB 长度等于:\(AB=\sqrt{(a-b)(\overline{a}-\overline{b})}\)

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 楼主| 发表于 2023-11-17 16:26 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2023-11-17 22:42 编辑

在复平面中,已知 △ABC 各顶点的坐标,求其外接圆圆心 O 的坐标。

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 楼主| 发表于 2023-11-17 16:27 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2023-11-19 10:17 编辑

在复平面中,已知 △ABC 各顶点的坐标,求其内切圆圆心 I 的坐标。

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发表于 2023-11-17 23:16 | 显示全部楼层
如何定义共轭导数

点评

看了你关于共轭导数的文章,觉得很粗疏。复变函数求导数,是很精密的东西。在一点的邻域,求导极限式只有与路径无关存在唯一极限值,这样的函数才可求导,称为解析函数。否则叫作不解析。你试着读读这方面的文章。  发表于 2023-11-20 10:59
没法定义。  发表于 2023-11-18 10:55
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发表于 2023-11-18 17:14 | 显示全部楼层
有没有这样的电子书?

点评

下楼不是电子书,是介绍比较全面的论文。  发表于 2023-11-18 19:42
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