设 n 为正整数，求证：[(1／2+√5／2)^(4n-2)]-1 是完全平方数

popo987654

请教思路

王守恩

\(由题意:\sqrt{\bigg\lfloor\big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\big)^{4n-2}\bigg\rfloor-1}=正整数\)

\(\sqrt{\bigg\lfloor\big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\big)^{4n-2}\bigg\rfloor-1}\)

\(=\bigg\lfloor\sqrt{\bigg\lfloor\big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\big)^{4n-2}\bigg\rfloor-1}\bigg\rfloor\)

\(=\bigg\lfloor\sqrt{\bigg\lfloor\big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\big)^{4n-2}\bigg\rfloor-0}\bigg\rfloor\)

\(=\bigg\lfloor\sqrt{\bigg\lfloor\big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\big)^{4n-2}\bigg\rfloor}\bigg\rfloor\)

\(=\bigg\lfloor\big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\big)^{2n-1}\bigg\rfloor\)=LucasL[2n+1]

LucasL[2n+1]是这样一串数:
{1, 4, 11, 29, 76, 199, 521, 1364, 3571, 9349, 24476, 64079, 167761, 439204, 1149851, 3010349,
7881196, 20633239, 54018521, 141422324, 370248451, 969323029, 2537720636, 6643838879,
17393796001, 45537549124, 119218851371, 312119004989, 817138163596, ......}

而 LucasL[n]是这样一串数:
{1, 3, 4, 7, 11, 18,  29,  47,  76, 123,  199, 322,  521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778,  9349, 15127,
24476, 39603, 64079, 103682, 167761, 271443, 439204, 710647, 1149851, 1860498, 3010349,
4870847,  7881196,  12752043, 20633239,  33385282, 54018521, 87403803, ......}

lihp2020

只要 思路
1 读题 就想到了黄金分割

2计算
2 验证前10个值  SS(n)= (1／2+√5／2)^(4n-2)
1        2                2.618033989
2        6                17.94427191
3        10                122.9918694
4        14                842.9988138
明显 第4项 已经 非常 趋近整数了

分析可得 ss(n) 一定是无理数 (非整数也行)
原式 ={SS(n)}往下取整-1 ={ss(n)}往上取整-2
现在 回顾 一下黄金分割

F(n)=f(n-1)+f(n-2)
F(n)=[（1＋√5）/2]^n /√5 － [（1－√5）/2]^n /√5
后面-的部分 n越大 越趋于 0
(1／2+√5／2)^(4n-2) 是否 可以看成 a*b^n
其中 a=(1／2+√5／2)^-2 b =(1／2+√5／2)^4

{ss(n)}往上取整  
和递推公式 sk[n]=5sk[n-1]+sk[n-2] (证明暂时忽略)

sk[n]={3，18，123，843，5778。。。。}、
  sk[n]=5sk[n-1]+sk[n-2] 利用它可以求得一个通项公式
  
  我猜 是 SS(n) +f(n) 其中 F(n) 一定是 a*b^n形式 且 b的小于1  导致整体小于a

  SS(n) +f(n)  经过通分化简 可得  =（**）^2 -2
  

  
  SS(n) +f(n) =（**）^2 +2  
又 原式 ={SS(n)}往下取整-1 = （**）^2

cgl_74

礼貌问下，题目出处是哪里呢？不会是你自己想的吧？

一般来说，取整函数，很难用初等函数表达式表达出来。即取整与初等函数的关系是比较复杂的。如果命题成立，即与取整，完全平方数有这么简单的对应关系，这就是一个有趣的命题！

我用计算机在高精度模式下，验证了一些数。发现当n> =10时，命题就不再成立。如果计算机没错的话，这个命题就是假的！

n =10
表达式：87403802.0000000298023223876953125
取整：87403802
开方：9349.000053481655

王守恩

cgl_74 发表于 2023-11-21 07:26
礼貌问下，题目出处是哪里呢？不会是你自己想的吧？

一般来说，取整函数，很难用初等函数表达式表达出来 ...

可能是您的计算精度不够，k 表示计算精度

1. Table[N[((3 + Sqrt[5])/2)^19, k], {k, 12, 20}]

复制代码

{87403803.0000,
87403803.00000,
87403803.000000,
87403803.0000000,
87403802.99999999,
87403802.999999989,
87403802.9999999886,
87403802.99999998856,
87403802.999999988559}

luyuanhong

luyuanhong

liangchuxu

求证：[(1／2+√5／2)^(4n-2)]-1 是完全平方数
说明：黄金分割是个无理数，证明过程取近似值----与各位老师有点差距。

cgl_74

多谢6楼王同学指出计算机精度问题！
多谢8楼陆老师解法！我也想过菲波拉契数列，简单验证下但没有深入。

王守恩

这样操作, 可以避开精度问题！
\(\bigg(\bigg\lfloor\big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\big)^{4n-2}\bigg\rfloor\bigg)-1=\bigg(\bigg\lceil\big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\big)^{4n-2}\bigg\rceil-1\bigg)-1=\bigg\lceil\big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\big)^{4n-2}\bigg\rceil-2\)