\(\large\textbf{单调有界序列及其极限的关系}\)

elim

设 \(\{a_n\}\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}^+}\) 收敛，\(a = \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n\)

定义 若对任给\(m\in\mathbb{N}\), 存在\(n > m ( n\in\mathbb{N})\) 使 \(a_n = a\),
\(\qquad\)则称\(a\) 关于\(\{a_n\}\) 可达，或\(\{a_n\}\)达到\(a\)。

注记：去掉序列的有限项不会影响序列的任何本征性质。

定理：(1) 若\(\{a_n\}\)严格单调，则\(a\) 关于\(\{a_n\}\) 不可达；
\(\qquad\) (2) 若\(\{a_n\}\)单调且对某\(m\)有\(a_m=a\)成立, 则恒有\(a_n=a\,(\forall n\ge m)\).
证：不妨设序列不减.  于是有
(1) \(a_n < a_{n+1}< a\;(\forall n)\);
(2) \(a=a_m\le a_n\le a\;(\forall n\ge m)\implies a_n=a\,(\forall n\ge m).\quad\square\)

elim

推论 一般意义下的春风可达，根据楼上的简单分析，是不成立的。

春风晚霞

       若极限存在，则必然可达(也就是春风可达）的表达式为\(\displaystyle\lim_{\color{red}{n→∞}}\color{blue}{a_n=a}\Longleftrightarrow\color{blue}{a_n=a}(\color{red}{n→∞})\)\(\;\)(*).
       春风晚霞从命题地提出到命题的证明，都是把\(a_n\)看成一般收敛数列\(\{a_n\}\)的通项。自然对先生所给出的收敛数列\(\{a_n\}\)∈\(R^{\mathbb{N}^+}\)也是成立的。
       定义：若对任给m∈\(\mathbb{N}\)，存在n>m\((n∈\mathbb{N})\)，使\(a_n=a\)，则称a关于\(\{a_n\}\)可达，或\(\{a_n\}\)达到a。很对不起，你的这个定义是e氏可达的定义。故你的定理也只是e氏不可达定理。你的定义或定理都有意略去了\(\displaystyle\lim_{\color{red}{n→∞}}\color{blue}{a_n=a}\Longleftrightarrow\color{blue}{a_n=a}(\color{red}{n→∞})\)右端的\((\color{red}{n→∞})\).从表面上看你找到了春氏可达的反例，其实呢？！

elim

正式了解到春风可达的定义就是 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n = a\) 的定义。
特别佩服春风先生发明春风可达这种纯废话打发大家的时间。

你跟 jzkyllcjl 争论的，是春风可达吗？

春风可达 \(a_n = a (n\to\infty)\) 是 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=a\) 略去了 \(\lim\) 号的结果。
是不是故意的就不好说了.

春风晚霞

elim 发表于 2024-1-4 19:26
正式了解到春风可达的定义就是 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n = a\) 的定义。
特别佩服春风先生发 ...

       春式可达的定义为：序号n与通项\(a_n\)同时以实无限方式达到极限，则称数列极限可达。(参见《关于极限可达问题的讨论》37楼.)
      支撑春氏可达的关键表达式为\(\displaystyle\lim_{\color{red}{n→∞}}\color{blue}{a_n=a}\Longleftrightarrow\color{blue}{a_n=a}(\color{red}{n→∞})\)\(\;\)(*).现再再次对（*）式证明如下：
       【证明】 ①、\(\Rightarrow\)（充分性）
       因为\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)，所以对任意给定的、无论怎样小的正数ε，存在\(N_ε\)，当n>\(N_ε\)时，恒有\(｜a_n-a｜<ε\)，由ε的任意性知\(｜a_n-a｜=0\)，即\(a_n=a\).所以\(当n→∞时a_n=a\).
     ②、\(\Leftarrow\)（必要性）
     假设\(当n→∞时a_n≠a\)，则必有｜\(a_n-a\)｜=α>0，取\(ε=\frac{α}{2}\)，恒有｜\(a_n-a\)｜=α>ε，这与\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)予盾 . 所以必须要有\((n→∞)时，a_n=a\).
       综合①、②知：\(\displaystyle\lim_{\color{red}{n→∞}}\color{blue}{a_n=a}\Longleftrightarrow\color{blue}{a_n=a}(\color{red}{n→∞})\)成立.
       elim先生认为【特别佩服春风先生发明春风可达这种纯废话打发大家的时间。】
       是不是废话，春风晚霞早有声明，〖有人信更好，无人信也无所谓〗，也就是说信与不信随你的便，只要你不无端打压我，说什么【一般意义下的春风可达，根据楼上的简单分析，是不成立的】，谁来打发你的时间？
       你问我【跟 jzkyllcjl 争论的，是春风可达吗？】我与曹氏争论的是趋向性(趋向但不等于）极限理论及他在此基础上建立起来的《全能近似分析》理论。因曹氏自许辩证唯物主义者，所以我与他争论的依据是马克思的级数等式，和恩格斯关于“用3做除数，商有数字横和规则”。而你呢？

金瑞生

定义 设数列的极限是A，则称该数列可达A。

金瑞生

定义  若某数列的极限为A，则称该数列可达A。

金瑞生

定义  若某数列的极限为A，则称该数列可达A。

金瑞生

定义 若某数列的极限为A，则称该数列可达A。

金瑞生

定义  若某数列的极限为A，则称该数列可达A。
注：从词义上说，任意小任意近距离为零就是可达！