已知 x,y>0 ，x^3+y^3-x/4-y/4=3 ，求 13x+y 的最大值

王守恩

[转载]如何解决这个二元不等式求最大值问题？

已知 x,y>0, x^3+y^3-x/4-y/4=3, 求13x+y最大值。

注：本题源自清华大学2024年1月中学生标准学术能力测试第8题，
欢迎各位采用各种方法，例如简洁优美的不等式法，甚至可以是几何法，也期望给出通法。

王守恩

x^3+y^3-x/4-y/4=3

4x^3-x+4y^3-y=12

x(2x+1)(2x-1)+y(2y+1)(2y-1)=12

求13x+y最大值。瞪眼:   y尽量小,  2y-1=0,  y=1/2。

Nicolas2050

已知 x,y>0, x^3+y^3-x/4-y/4=3, 求13x+y最大值。

注：本题源自清华大学2024年1月中学生标准学术能力测试第8题

Sulution:

由AM-GM不等式得：

3abc<=a^3+b^3+c^3;
4(13x+y)=3*2x*3*3+3*2y*1*1-2x-2y<=[(2x)^3+3^3+3^3]+[(2y)^3+1^3+1^3]-2x-2y
=8x^3+8y^3-2x-2y+56=8[x^3+y^3-x/4-y/4]+56=8*3+56=80

当且仅当2x＝3，2y＝１时取等号；即x=3/2,y=1/2取等号.

(13x+y)<=80/4=20.x=3/2,y=1/2取等号.

so (13x+y)max=20.
                                Q.E.D


Appendix:
证明：a,b,c均大于等于0,a&#179;+b&#179;+c&#179;>=3abc

王守恩

给出通法。《数学中国论坛》的学习氛围还是很好的。谢谢Nicolas2050！谢谢陆老师！

\(已知 x,y>0,x^3+y^3-(x+y)/C=B, 求A*x+y最大值。\)

\(等同解二元方程组: x^3+y^3-(x+y)/C=B,\frac{3y^2-1/C}{3x^2-1/C}=\frac{1}{A}\)

\(已知 x,y>0,(x^3+y^3)*D-(x+y)/C=B, 求A*x+y最大值。\)

\(等同解二元方程组: (x^3+y^3)*D-(x+y)/C=B,\frac{3Dy^2-1/C}{3Dx^2-1/C}=\frac{1}{A}\)

王守恩

王守恩 发表于 2024-1-28 09:40
给出通法。《数学中国论坛》的学习氛围还是很好的。谢谢Nicolas2050！谢谢陆老师！

\(已知 x,y>0,x^3+y^ ...

谢谢 Nicolas2050!  能用你的方法把这答案(答案没问题)表述一下？谢谢！

cgl_74

王同学很好学，想要学通用解法。
这种求最大值的问题，本质上都是解方程组。像本题，带约束条件的最值问题，通用解法是拉格朗日乘数法。3个变量的偏导数组成3个方程的高次方程组，解之即可。
当然还可以用待定系数法，用均值不等式去配凑。其中含待定系数，也是需要解方程组的。把待定系数求出来。

3楼的解法答案是对的，但是解答方法是凑的。看上去很巧妙，其实是典型的知道答案去寻求解法。如果本题是证明题，就非常简单。就是证明当x =3/2, y=1/2时是最大值。相当于证明方程组的一组解，与求出方程组的解，难度是不一样的。

cgl_74

cgl_74 发表于 2024-1-29 15:59
王同学很好学，想要学通用解法。
这种求最大值的问题，本质上都是解方程组。像本题，带约束条件的最值问题 ...

这位Nicolas2050，不知道你的来历。但从你发帖给的解法看，其实很粗浅。你自己的水平如何，你自己应该知道得很清楚。你在网上说大话吓唬人，别人不知道如何，但想吓唬我就显得很可笑！

而且，为什么要拿高考，拿文凭来压人呢？有什么low的比较条件吗？我很早就从985大学毕业了，高中时我也拿过高中数学联赛一等奖。你要是用这个来吓唬我，真实太可笑了！

cgl_74

哎，我真是又气又好笑！要吹牛也要说拿过国家科技进步奖，或者院士，教授头衔什么的。没听过那高考来吹牛的！

波斯猫猫

已知 x，y>0 ，x^3+y^3-x/4-y/4=3 ，求 13x+y 的最大值.

思路：由x，y>0 ，x^3+y^3-x/4-y/4=3 有，8x^3+8y^3-2x-2y=24，

或24+2a^3+2b^3=(2x)^3+2a^3+(2y)^3+2b^3-2x-2y≥6xa^2-2x+6yb^2-2y

=2(3a^2-1)x+2(3b^2-1)y，即(3a^2-1)x+(3b^2-1)y≤12+a^3+b^3(a，b∈R+)，

当且仅当2x=a，2y=b时等号成立。特别地，当2x=a=3，2y=b=1时，有13x+y ≤20。

注：为了把三次幂降为一次幂，必须配上2a^3+2b^3。

cgl_74

我接下来给出2种比较通用的解法。讲清楚解法的关键点和难点。