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本帖最后由 elim 于 2024-2-1 08:42 编辑
Peano 自然数第五公理:若集合S含0并且含每个成员的后继,则S含全体自然数.
数学归纳法原理:若命题 p(n) 对 n=0 真,且 p\((n)\implies p(n+1)), 则对一切自然数\(n,\) p(n) 真。
证明:令 \(\small S = \{n\in\mathbb{N}: p(n)\text{真}\}\). 则 \(\small (0\in S)\wedge(n\in S\implies n+1\in S)\),
\(\quad\)据皮亚诺公理,\(S=\mathbb{N}.\)。
例 \(1^3+2^3+\cdots+n^3 = (1+2+\cdots+n)^2\)
证:令\(s{\small(n) = 0^3+\cdots+n^3},\;\sigma{\small(n)=0+\cdots+n}\), 则\(\small s(0)=\sigma(0)\).
\(\quad\small\sigma^2(n+1)-\sigma^2(n)=2(n+1)\sigma(n)+(n+1)^2=(n+1)(2\sigma(n)+n+1)\)
\(\quad\small=(n+1)(n(n+1)+n+1)=(n+1)^3\)
\(\therefore\small s(n)=\sigma^2(n)\implies s(n+1)=s(n)+(n+1)^3=\sigma^2(n)+(n+1)^3=\sigma^2(n+1)\).
\(\quad\)据归纳法原理,\(\small 1^3+\dots+n^3=(1+\cdots+n)^2\) 对一切正整数成立.
注记:\(\displaystyle\small 2\sigma(n)=\sum_{k=0}^n k+\sum_{k=0}^n(n-k)=\sum_{k=0}^n n=(n+1)n\)
jzkyllcjl 否定\(\mathbb{N}\) 的既存性,认为自然数集是不断增长中的有限集,永远有大量自然数尚待被造,所以否定数学归纳法. 他实际上否定任何无穷论域的既存性,所以他没有无穷论域上的定理。他认定形式逻辑导致悖论,所以他否定逻辑推理. 这就解释了他不认为数学有绝对的真理性,主张实践-纠错的无限反复。不难了解,这种观念必然导致 jzkyllcjl 的数学没有推理没有定理。只有一堆经验结果。例如 1除以3的有限实践结果是 0.3,0.33,0.333,..... 等等。jzkyllcjl 意识到他的东西的苍白,所以他称标准分析的结果具有理想性,而称他的东西是具有与理想相对立的现实性。再用'辩证法"把两者调和在一起,由他随意胡扯。且不谈 jzkyllcjl 主张的错误,他70年来没搞定 0.333... 的事实,以及对数学只有虚无消极的影响这点,使从事数学的人感到恶心. 却对相当多的非专业网友具有代表性,从本贴可见,朴素的门外汉感情,八股党卫队的操守归跟结底站不住脚,对数学毫无建树。
可以这么说,数学的任何深刻分歧的根源都是对自然数的认知的分歧。
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