不定方程：x^n+y^(n+1)=z^n的部分解的公式

lusishun

将于2024年03月14的国际数学日，公布。
公布的主要内容是：公式的推导过程。
该公式，早在20220314，国际数学日，中国数学会公众号的留言中，以答案的形式，被精选。
这次是公布推导过程，思考路程。

lusishun

设e=2718281828459045，
求出方程：
X^e+Y^(e+1）=z^e
的10000组解。

lusishun

为什么这里用2718281828459045，是因为e的近似值是2.718281828459045，很好记，e值分段记忆法，
您念一遍，就记住了，这也是老鲁的发现，刊登在198几年的《中学生数学》杂志上，
很容易记住小数点后，15位

lusishun

lusishun 发表于 2024-2-25 23:15
设e=2718281828459045，
求出方程：
X^e+Y^(e+1）=z^e

实实在在的说，按各位看官的思考，当n的取值很大很大时，
如n=1234567891011121314151617181920时，是用什么方法来求得方程：
X^n+y^(n+1)=z^n的正整数解呢？
探讨一自己内心的思考，其实，可能你自己已经有了妙法，思路，
而就是没有整理出来，妙招既有，就不会只有一人有感触，有认识。
在公布之前，大家还是再深问自己，整理思路，享受发现的快感。

lusishun

lusishun 发表于 2024-2-26 22:07
为什么这里用2718281828459045，是因为e的近似值是2.718281828459045，很好记，e值分段记忆法，
您念一遍 ...

读几遍，2.718281828459045，
你是不是也记住了e值的近似值达到小数点后十五位啊，
读两遍，自然找到规律。

Treenewbee

\[x^n+y^{n+1}=z^n\]
令\[y=x=s\]
\[z^n=s^n(1+s)\]
令\[1+s=t^n,即s=t^n-1\]
此时\[(st)^n=s^n+s^{n+1}\]
即\[(t^n-1)^n+(t^n-1)^{n+1}=(t^{n+1}-t)^n\]

wlc1

不定方程：\(x^{n+1}+y^n=z^{n+1}\) 的部分解的公式，又如何？

lusishun

wlc1 发表于 2024-2-28 05:05
不定方程：\(x^{n+1}+y^n=z^{n+1}\) 的部分解的公式，又如何？

以x^10+y^9=z^10,为例，
9^2=10·8+1，
由a^80+b^81=c^80,
得a=2^80-1=b,
c=[2(2^80-1)]
所以，
X=a^8,
Y=a^9
Z=c^8

lusishun

X^n+y^(n+1)=z^n

解：
若x=y,
左边=x^n(1+x),
设x=b-1，
左边=（b-1)^n·b，
再设b=a^n，
左边=（a^n-1)^n·a^n=[a(a^n-1)]^n,=右边。
即得，
x=y=a^-1,
Z=a(a^n-1).
（a为大于1的整数）

      

lusishun

lusishun 发表于 2024-3-1 10:05
X^n+y^(n+1)=z^n

解：

如：
X^20220314+y^20220315=c^20220314,
解：
由公式得：
x=y=a^20220314,  
z=a(a^20220314-1)
(a为大于1的整数）