结论:\(2^k-1＝p\)，素数判断

太阳 · 发表于 2024-4-13 04:25

已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(\frac{a^2+3}{c}＝2^k-1\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)，未知数\(a\)
方程\(\frac{a^2+3}{c}-2^k+1＝0\)，\(a\)最多有两个整数解
结论:\(2^k-1＝p\)

太阳 · 发表于 2024-4-13 04:31

已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(\frac{a^2+3}{c}＝2^k-1\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)
方程\(\frac{a^2+3}{c}-2^k+1＝0\)，最多两个整数解
结论:\(2^k-1＝p\)

yangchuanju · 发表于 2024-4-13 07:06

用你的整除法判断不出梅森数2^k-1是不是素数，k=101,103时你也找到了整数解，然2^101-1,2^103-1都不是素数！

yangchuanju · 发表于 2024-4-13 07:29

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-4-13 08:22 编辑

(a^2+3)/(2^k-1)最多只有两个整数解吗？令k=3,5算算看——
a (a^2+3)/7 (a^2+3)/31
1 0.571428571 0.129032258
2 1 0.225806452
3 1.714285714 0.387096774
4 2.714285714 0.612903226
5 4 0.903225806
6 5.571428571 1.258064516
7 7.428571429 1.677419355
8 9.571428571 2.161290323
9 12 2.709677419
10 14.71428571 3.322580645
11 17.71428571 4
12 21 4.741935484
13 24.57142857 5.548387097
14 28.42857143 6.419354839
15 32.57142857 7.35483871
16 37 8.35483871
17 41.71428571 9.419354839
18 46.71428571 10.5483871
19 52 11.74193548
20 57.57142857 13
21 63.42857143 14.32258065
22 69.57142857 15.70967742
23 76 17.16129032
24 82.71428571 18.67741935
25 89.71428571 20.25806452
26 97 21.90322581
27 104.5714286 23.61290323
28 112.4285714 25.38709677
29 120.5714286 27.22580645
30 129 29.12903226
31 137.7142857 31.09677419
32 146.7142857 33.12903226
33 156 35.22580645
34 165.5714286 37.38709677
35 175.4285714 39.61290323
36 185.5714286 41.90322581
37 196 44.25806452
38 206.7142857 46.67741935
39 217.7142857 49.16129032
40 229 51.70967742
41 240.5714286 54.32258065
42 252.4285714 57
43 264.5714286 59.74193548
44 277 62.5483871
45 289.7142857 65.41935484
46 302.7142857 68.35483871
47 316 71.35483871
48 329.5714286 74.41935484
49 343.4285714 77.5483871
50 357.5714286 80.74193548
51 372 84
52 386.7142857 87.32258065
53 401.7142857 90.70967742
54 417 94.16129032
55 432.5714286 97.67741935
56 448.4285714 101.2580645
57 464.5714286 104.9032258
58 481 108.6129032
59 497.7142857 112.3870968
60 514.7142857 116.2258065
61 532 120.1290323
62 549.5714286 124.0967742
63 567.4285714 128.1290323
64 585.5714286 132.2258065
65 604 136.3870968
66 622.7142857 140.6129032
67 641.7142857 144.9032258
68 661 149.2580645
69 680.5714286 153.6774194
70 700.4285714 158.1612903
71 720.5714286 162.7096774
72 741 167.3225806
73 761.7142857 172
74 782.7142857 176.7419355
75 804 181.5483871
76 825.5714286 186.4193548
77 847.4285714 191.3548387
78 869.5714286 196.3548387
79 892 201.4193548
80 914.7142857 206.5483871
81 937.7142857 211.7419355
82 961 217
83 984.5714286 222.3225806
84 1008.428571 227.7096774
85 1032.571429 233.1612903
86 1057 238.6774194
87 1081.714286 244.2580645
88 1106.714286 249.9032258
89 1132 255.6129032
90 1157.571429 261.3870968
91 1183.428571 267.2258065
92 1209.571429 273.1290323
93 1236 279.0967742
94 1262.714286 285.1290323
95 1289.714286 291.2258065
96 1317 297.3870968
97 1344.571429 303.6129032
98 1372.428571 309.9032258
99 1400.571429 316.2580645
100 1429 322.6774194

yangchuanju · 发表于 2024-4-13 10:57

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-4-13 13:06 编辑

除了a^2+3能整除梅森素数M3、M5、M7、M13、M17、M19、M31、M61、M89、M107、M127、M521、M607、M2281以外，
a^2+3还能整除梅森合数M37、M67、M101、M103，以上各个整除底数a太阳先生都已找到；

以下，2的139,257,269,271,293,347,349,353,373,379,401,457,461,499次方减1也应都能被a^2+3整除，
请太阳先生用您的大素数软件继续找出可整除的底数a！

太阳 · 发表于 2024-4-13 12:01

(97684022035086717854111213100035952693545^2+3)/(2^139-1)＝13692339804436716549161140624564379912044
(261404343956197943174951924814485696156485192980910290480543173095280306572816609^2+3)/(2^271-1)＝18009297637937335606819098682862058633393347011894423429069218017750240328243772
(2772095746145238378205676520768425207915955770770794086478843666485670977814196110864218777099757052439921184336^2+3)/(2^373-1)＝399418402321641084082064365510626572378314197879054321535300605821898655372082715286411883027340280236776040189
(307530969730385996604848815952429188225323369837556445447996462928714315508820540594977173369570027000528784739834^2+3)/(2^379-1)＝76808513249330576222794263393816642103308873506268285198260131015481354622386520236968536038663125669355125712857
(61991892055246749490773643719397921575537609720806422150759131343195234360711395767033764849199513750903068847274418532807408890931048761^2+3)/(2^457-1)＝
10326704858495484504859159485285539056188786704552168349672810849705601979848217921837351358808329221883481766592053184710540859772608844
2^257-1，2^268-1，2^271-1，2^293-1，2^347-1，2^349-1，2^353-1，2^401-1，2^461-1，2^499-1
没有找到a值

太阳 · 发表于 2024-4-13 12:15

(3865504824069152638223849472147808627917721493313108877198929168830065073659860361322662153119332738749890425078692311322372094330649371422601776887237127108603970642258615965720924163650294735397645663774722965634005246117572240839604494244283499121385452393293936471750140438056728422978659100505683868486207643070705906054190280846925217899017664595739553396518714116487412809999266^2+3)/(2^1279-1)＝1435648048568373238948622797319913416830689395897244888411069401823567349462541324294459470193821809172450935171421427334861613801490632735040021788377436053668217062904417933707326688243189582283896583128971844514827277866075327436781282018314579457331920309498092374043725617648413237124501164219488684532223538177849055372828318062145054393554459483088266947143378277608397958958457
(374123925500991579597426289428936136288087442086608548321206889967398441496794332525386332601127581091214445443761205369345484583796467746988978268120227212027134621268252300631867971578162064965951704676933972155988430073909924855985033021149998004209475138292842534638148743133628902347937064034051199385360092941181030955195506470122663530183284019978077906265360019760138768339338845004275003298897159218048692346432090862860527377817141075046014691358357218016592538401622099574514914602742784859974538592316267316178225677201328818433942179818165805045565898327624885175777802977286548290661605227473064847150439908846274586515294748162960064152876627639804^2+3)/(2^2203-1)＝94831040849197844897803931623045854131565788511282922502488480139261921783283733390783452595261464775544377538970781408552965992168127802971619370183248420007360587298328493544694753765366380997952709640349091060612705952020761569419272908141762669177883597458069499450047111727249041461720811650845840972986950775080999725499861389020720493152654845717392683950030023929095019031040807493949383900980234016653640491347649806540936015692702362712684797804584615373352267343113436092701605038462187451053883812095926470725764640256536368967372974474090754476761389818283284454079679124216091440769746950286798874032757019432983119418317660624286649144708717735917

太阳 · 发表于 2024-4-13 12:18

2^3217-1，梅森素数，数据大，数学软件，没有找到a的值

太阳 · 发表于 2024-4-13 12:41

(226346695428167960068307799761658172406497299455259847009180000832391020371331871^2+3)/(2^269-1)＝54010659848364922924560089552432438744853310154174327720940799684466817741279804
(261404343956197943174951924814485696156485192980910290480543173095280306572816609^2+3)/(2^271-1)＝18009297637937335606819098682862058633393347011894423429069218017750240328243772

yangchuanju · 发表于 2024-4-13 13:34

令c=4，可能就那4个整数解；
令c是任意正整数，那整数解就可能有无穷多个了！

能整除a^2+3的2^k-1可能是素数（例k=2,3,5,7,13等），也可能是合数（如k=37,67,101,103等）！
当k=9，15，21，25，27，39，45时，也一定有多个可整除的a^2+3存在；但k=33和35时不会有（素因子分别是模6余1551和1515型的）！

		自动登录	找回密码
密码			注册

结论:\(2^k-1＝p\)，素数判断

点评