结论:\(2^k-1＝p\)，素数判断

yangchuanju · 发表于 2024-4-13 18:04

yangchuanju 发表于 2024-4-13 13:34
令c=4，可能就那4个整数解；
令c是任意正整数，那整数解就可能有无穷多个了！

一些整除的个例
2^k-1 a c
511 163 52
511 236 109
511 275 148
32767 6428 1261
32767 9599 2812
32767 13806 5817
2097151 198413 18772
8191 181 4
8191 8010 7833
8191 8372 8557

yangchuanju · 发表于 2024-4-13 18:21

2047没有整数解
2^11-1=2047=23*89
两个素因子都是模6余5的，模6余1的a^2+3不能整除模6余5的因子，尽管2047模6余1也不行；

其它凡2^k-1之中含有模6余5因子的都不行，模6余5的素因子总是成对出现的！
如k=23,29,41,43,47……及k=33,35……等。

太阳 · 发表于 2024-4-13 21:41

本帖最后由太阳于 2024-4-13 22:58 编辑

(1676014104583424983641798813999538881464938842562544679679033845493334248248911630123914315966278246076191107588247074656692490101215390095146908400290434998211033007428807729762212048272282039871966202237983807862958499935303473858181225665926564537085922370284859^2+3)/(2^881-1)＝174232496029482692117236432531772727689596222934685451541724322350692593869323802323907795775909846944348350239478496192760771354619576988593156272482230951235369788078818661597714456358711488045997803313837920742365442402187791318919626799609565823214005653648484

太阳 · 发表于 2024-4-13 22:19

本帖最后由太阳于 2024-4-13 23:06 编辑

(20971429078308381894888084611979890129203248951164753254377683912370890948295752862892816501427978100972476135985363065540243044644866256229950619147618285911374101310090093301828064866183628033218333551737058218844900691508467658341724052877819630633862296881209753772604282131802598887923219566660088764892033860787921^2+3)/(2^1063-1)＝4450109130008665410217176247875848340518813480686622962627279594916714463167708696361217534494009151245135159970475990081611591609939542935567159253336977548013344150981487977663216502488753420827908320060063575017374061214742624164594388133097349703891678041920398939262834188724495162611509951042129959256250462624092

太阳 · 发表于 2024-4-13 22:20

(35448934174406292464345215533927956456304522965778649359431634991066624832830561304495163817872610757523384254867807205619862970686658174085155140563228855644981904679980579580965207812965146208352313945339739737810660136705842154581886733654830607172287572593890078543374070267845708404131408645116570933803194421741724^2+3)/(2^1063-1)＝12715134930499767815594687792269014462870158702205422455577568130654312715585342113784582906203988785041553110792455843743407143851308564134328345916407218776926982934556892701870250971062253306769399597956832936114030483944214922575481403633878752943547980855736757477119347913494670363945892540962388900460910436802797

太阳 · 发表于 2024-4-13 22:20

(63380291073303970403084152981168384876486809926868869369524106233264595659354666670094867286344735187392181108568136110488442076864998797041316246126584869902634025142561589054028399482978807083268666366414530315198132579810121077165234045470735582447248587812535101902101229837247310410412696583714486811952522248714083^2+3)/(2^1063-1)＝40646491829397445754333625239509442883052445663295642465670039372852283542109447479384286374676113214910349964492784748611986250029649187090489451479763233034579103397137902174933442641075914181685752019031623513501502927048493845158828715449783728218508996074381780835846507482896272370227180479560304778610238263775156

太阳 · 发表于 2024-4-13 22:21

(77857796169401880972541283903116451203588083941482765474578057311960329543889475111697214602789367843943089227450580250568062002906790714896520767542195439636241828512452075333165542429760325258402646760017211834163892025007495573405396726247746558985673863525215426672871017973290419926620885662170968980863682809667886^2+3)/(2^1063-1)＝61336476221102164487870375539012409414903648471004635182827652994506153058761430945165615635855398894215748251435693175109430549871864001602137307647914131272881071353343470009000694066065450646012221528340217190336365394713770539228267061503024278055703244685926071839529570030212316201309176046553010175227899411504057

yangchuanju · 发表于 2024-4-14 07:04

太阳发表于 2024-4-13 22:21
(778577961694018809725412839031164512035880839414827654745780573119603295438894751116972146027893678 ...

太阳先生辛苦了！
对于320位的梅森数2^1063-1一口气就找出4组整数解！
恭喜恭喜！

1063——素数
2^1063-1——合数
2^1063-1<320> = 1485761479<10> • 6651755792...33<311>

您自己已经推翻了您的两个猜想（命题）——
(a^2+3)/(2^k-1)=c，（求证）2^k-1=p（素数）
(a^2+3)/(2^k-1)最多只有两个整数解

yangchuanju · 发表于 2024-4-14 13:03

(a^2+3)/(2^k-1)中的正整数解个数

令底数a=1至10000，指数k=2-19，列表计算，能够整除的个数分别为：
k 整数解数解概述
2 3333 每3个a就有一个整数解，a=3,6,9，……，均匀分布
3 2857 每3个、4个a就有一个整数解，a=2,5,9,12,16,19，……，均匀分布
4 0 没有整数解
5 645 多个整数解，分布不再均匀
6 0 没有整数解
7 158 多个整数解，分布不再均匀
8 0
9 79
10 0
11 0 不会有整数解
12 0
13 3
14 3
15 2
16 0
17 0 继续增大底数a，应该有整数解
18 0
19 0 继续增大底数a，应该有整数解

增大底数a的取值范围到40万，找到了
6个可以整除2^17-1=131071的整数解；
2个可以整除2^19-1=524287的整数解：
k a c
17 43811 14644
17 87260 58093
17 174882 233337
17 218331 363684
17 305953 714172
17 349402 931417
19 138985 36844
19 385302 283161

太阳 · 发表于 2024-4-15 07:35

(208468730449502204375391757229082852012824386724465851021823115350579015126500197305695759854933022980222787221776976033968090400117352395862969131226332556959850901700210780601798930671617495772143746624752311652793439059997884684490938027341141237293699041475990315400833503804682768125012900748044485121842260062442668110845995438301951066586934470869829938468691891352110918508429540968478760569756695323817861962477348575179460571425109716356085545167592728863712033740971904432173200512^2+3)/(2^1637-1)＝7111790280901291782100732645140382246216393531117247538879451159591884009909715499256875878132350132296760537876204799329931499036225076775660985097235269083320661445152847011794661863201660117389677781552273880970272322334270766594071474979749817141788295418804752823179546133845589389921277253512512196529157217068589972514877438289302331275670358006957037284847912879990998105561457730694413731510433210674729853128539598021321297225742906978131512717935878899767273894123207263033999357

		自动登录	找回密码
密码			注册