已知 f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d 满足 f(1)=1，f(2)=4，f(3)=6，求 f(0)+f(4) 的值

wintex

已知 f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d 满足 f(1)=1，f(2)=4，f(3)=6，求 f(0)+f(4) 的值

mathmatical

656，wintex,答案多少？列个方程。

luyuanhong

题  已知 f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d 满足 f(1)=1，f(2)=2，f(3)=3，求 f(0)+f(4) 。

解  令 F(x)=f(x)-x^4=ax^3+bx^2+cx+d ，F(x) 是一个三次多项式。

     在等距节点 x=0,1,2,3,4 上，三次多项式 F(x)=f(x)-x^4 的函数值的四阶差分必定等于 0 。

          x                    0                    1                           2                             3                          4

F(x)=f(x)-x^4   F(0)=f(0)   F(1)=f(1)-1=0   F(2)=f(2)-16=-14   F(3)=f(3)-81=-78   F(4)=f(4)-256

                                    ↘  ↙                 ↘  ↙                       ↘  ↙                       ↘  ↙

一阶差分              0-f(0)=-f(0)       -14-0=-14          -78-(-14)=-64     f(4)-256-(-78)=f(4)-178

                                             ↘  ↙                  ↘  ↙                       ↘ ↙

二阶差分                  -14-[-f(0)]=f(0)-14   -64-(-14)=-50   f(4)-178-(-64)=f(4)-114

                                                         ↘  ↙                    ↘  ↙

三阶差分                     -50-[f(0)-14]=-f(0)-36    f(4)-114-(-50)=f(4)-64

                                                                   ↘  ↙

四阶差分                                 f(4)-64-[-f(0)-36]=f(0)+f(4)-28


因为三次多项式 F(x)=f(x)-x^4 的四阶差分等于 0 ，即有 f(0)+f(4)-28=0 ，所以 f(0)+f(4)=28 。

luyuanhong

例如，当 a = -6 ，b = 11 ，c = -5 ，d = 0 时，f(x) = x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 5x 。

这时有

f(0) = 0^4 - 6×0^3 + 11×0^2 - 5×0 = 0 ；

f(1) = 1^4 - 6×1^3 + 11×1^2 - 5×1 = 1 ；

f(2) = 2^4 - 6×2^3 + 11×2^2 - 5×2 = 2 ；

f(3) = 3^4 - 6×3^3 + 11×3^2 - 5×3 = 3 ；

f(4) = 4^4 - 6×4^3 + 11×4^2 - 5×4 = 28 。

符合 f(1) = 1 , f(2) = 2 , f(3) = 3 的已知条件，有 f(0) + f(4) = 0 + 28 = 28 。