\(a\)取值小于\(2^k-1\)最多2个整数解，判断\(2^k-1＝p\)是素数

yangchuanju

2^37-1是一个二合数，两素因子模6都余1，应该有4个整数解（因第二素因子特大，也有可能只有2个整数解）；
如果它仅能找到2个整数解，用此对它进行素性判断，将错误地给出它是素数的结论；
由于不定方程的整数解很难求得或求全，故用该法判断一个梅森数是不是素数，即难又往往判错；
它不是一种可靠的、有效的方法！

2^257-1是一个三合数，三素因子模6都余1，应该有8个整数解（因三素因子都非常大，它也可能没有整数解）；
现一个整数解都没有找到，对它的素合性也没有判定或判错！

太阳

2^37-1=137438953471<12>=223*616318177
不定方程(a^2+3)/(2^37-1)=c
第一个解a＝10571224606，找到第二解a＝126867728865，2^37-1-10571224606＝126867728865
第三个解a＝14697820651，找到第四解a＝122741132820，2^37-1-14697820651＝122741132820

yangchuanju

三合数31*127*8191=32247967的整数解个数               
经检验至三合数的一半，找到了4个整数解；另4个根据互补性质确定，共8个整数解。               
a        a^2+3        32247967
3366682        11334547689127         351481
7527710        56666417844103         1757209
13039891        170038757291884         5272852
15047048        226413653514307         7021021
17200919        295871614444564         9174892
19208076        368950183621779         11441037
24720257        611091106146052         18949756
28881285        834128623251228         25866084

太阳

检验三合数13×31×61=24583，有8整数解
(a^2+3)/24583=c，a＝1437，5219，6676，10458，14125，17907，19364，23146
检验三合数61×109×499=3317851，有8整数解
(a^2+3)/3317851=c，a＝13752，359500，1101572，1447320，1870531，2216279，2958351，3304099
检验三合数499×997×1279=636306337，有8整数解
(a^2+3)/636306337=c，a＝11054127，24048028，89441479，124543634，511762703，546864858，612258309，625252210

太阳

检验二合数，有4个整数解
检验三合数，有8个整数解
检验四合数，有16个整数解
检验五合数，有32个整数解
检验六合数，有32个整数解，40个整数解

太阳

检验四合数19×499×997×1279=12089820403，有16整数解
(a^2+3)/12089820403=c，a＝1919973138，3092090206，3192585812，4364702880，4430096331，
5214994330，5602213399，5702709005，6387111398，6487607004，6874826073，7659724072，
7725117523，8897234591，8997730197，10169847265

太阳

六合数7*13*19*37*67*97，64个整数解

太阳

太阳 发表于 2024-4-15 22:17
检验二合数，有4个整数解
检验三合数，有8个整数解
检验四合数，有16个整数解

n合数有2^n个整数解；构成多合数的素数必须都是模6余1的素数
数学软件验证几个数，是正确的

yangchuanju

太阳 发表于 2024-4-15 22:17
检验二合数，有4个整数解
检验三合数，有8个整数解
检验四合数，有16个整数解

最小的五合数7*13*19*31*37=1983163有32个整数解；
a01-a16        c01-c10        a17-a32        c17-c32
178509        16068        1804654        1642213
306455        47356        1676708        1417609
339306        58053        1643857        1362604
467252        110089        1515911        1158748
491640        121881        1491523        1121764
619586        193573        1363577        937564
636162        204069        1347001        914908
652437        214644        1330726        892933
745127        279964        1238036        772873
764108        294409        1219055        749356
780383        307084        1202780        729481
796959        320268        1186204        709513
873073        384364        1110090        621381
905924        413833        1077239        585148
924905        431356        1058258        564709
949293        454404        1033870        538981

太阳

六合数7×13×19×37×67×97，64个整数解，如果素因子重复，整数解减少
(a^2+3)/7/13/19/37/67/97=c，64个整数解，a=17679097，21965288，54911383，59197574，61443363，
65729554，81642255，85928446，98675649，102961840，118874541，123160732，125406521，
129692712，130046807，134332998，136467819，140754010，162638807，166924998，167279093，
171565284，173700105，173811073，177986296，178097264，180232085，184518276，194009965，
198296156，200430977，204717168，211043359，215329550，217464371，221750562，23124251，
235528442，237663263，237774231，242060422，244195243，248481434，248835529，253121720，
279292708，281427529，285713720，286067815，290354006，292599795，296885986，312798687，
317084878，329832081，334118272，350030973，354317164，356562953，360849144，393795239，
398081430