四莲雾七苹果五梨分给甲乙两人，任意分、各水果每人至少一个、每人至少一个，求分法数

allen125

請問這題

luyuanhong

题 4 个相同的莲雾、7 个相同的苹果、5 个相同的梨，全部分给甲乙两人，在下列三种条件下：

（1）任意分；（2）各种水果每人至少一个；（3）每人至少有一个水果，分别求分法种数。

解（1）一般来说，n 个相同的物品，任意分给甲乙两人，可以分给甲 0,1,2,…,n 个，剩下的留

给乙，有 n + 1 种分法。

    所以，4 个相同的莲雾，任意分给甲乙两人，有 4 + 1 = 5 种分法；7 个相同的苹果，任意分

给甲乙两人，有 7 + 1 = 8 种分法；5 个相同的梨，任意分给甲乙两人，有 5 + 1 = 6 种分法。

    总之，三种水果任意分给甲乙两人，共有 5 × 8 × 6 = 240 种分法。

（2）要求各种水果每人至少一个，可以先给每人一个莲雾、一个苹果、一个梨，剩下 2 个莲雾、

5 个苹果、3 个梨，任意分给甲乙两人。

    按照上面（1）中的计算方法，可知这时的分法种数为

                 ( 2 + 1)×( 5 + 1 )×( 3 + 1 ) = 3 × 6 × 4 = 72 。

（3）要求每人至少有一个水果，可以考虑相反的情形。相反的情形只有 2 种：或者水果全部分给甲，

或者水果全部分给乙。

    从（1）算出的分法总数 240 中，扣除这 2 种相反的情形，就得到在每人至少有一个水果时，

分法种数为 240 - 2 = 238 。

lihp2020

1 任意分
每个水果 有N+1 种分法 {0,n} {1 ,n-1}...{n,0}
所以 有 5*8*6 =240种
2 每个水果 有N-1 种分法
所以 有 3*6*4 =72种
3
就是第一个分法 -2
238种

allen125

謝謝陸老師以及l老師指導