证：sin5°…sin175°×sin12°…sin168°／sin10°…sin170°×sin6°…sin174°=5/6

王守恩

\(A=\sin(5^\circ)\sin(15^\circ)\sin(25^\circ)\sin(35^\circ)\sin(45^\circ)\sin(55^\circ)\cdots\sin(165^\circ)\sin(175^\circ)\)

\(B=\sin(10^\circ)\sin(20^\circ)\sin(30^\circ)\sin(40^\circ)\sin(50^\circ)\sin(60^\circ)\cdots\sin(160^\circ)\sin(170^\circ)\)

\(C=\sin(6^\circ)\sin(18^\circ)\sin(30^\circ)\sin(42^\circ)\sin(54^\circ)\sin(66^\circ)\cdots\sin(162^\circ)\sin(174^\circ)\)

\(D=\sin(12^\circ)\sin(24^\circ)\sin(36^\circ)\sin(48^\circ)\sin(60^\circ)\sin(72^\circ)\cdots\sin(156^\circ)\sin(168^\circ)\)

\(求证: \frac{A*D}{B*C}=\frac{5}{6}\)

luyuanhong

luyuanhong

王守恩

\(\frac{\sin(1^\circ)\sin(5^\circ)\sin(9^\circ)\sin(13^\circ)\sin(17^\circ)\sin(21^\circ)\cdots\sin(173^\circ)\sin(177^\circ)}{\sin(2^\circ)\sin(6^\circ)\sin(10^\circ)\sin(14^\circ)\sin(18^\circ)\sin(22^\circ)\cdots\sin(174^\circ)\sin(178^\circ)}=\sin(45^\circ)\)

王守恩

luyuanhong 发表于 2024-4-19 10:21

陆老师！虚心请教,  这样可以有吗？谢谢！

\(\displaystyle\prod_{k=1}^n\sin\big(\frac{180k}{n}-x\big)^\circ =\frac{\sin(n*x)^\circ}{2^{n-1}}\)

王守恩

\(\frac{\sin1^\circ\sin5^\circ\sin9^\circ\cdots\sin177^\circ}{\sin2^\circ\sin6^\circ\sin10^\circ\cdots\sin178^\circ}=\frac{\prod_{k=1}^{45}\sin(180k/45-3)^\circ }{\prod_{k=1}^n\sin(180k/45-2)^\circ}=\frac{\sin(45*3)^\circ/2^{44}}{\sin(45*2)^\circ/2^{44}}=\sin45^\circ\)