构造 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n\in\{a_n\}\)反例的一条思路

elim

我们的目的很清楚，要构造 \(\displaystyle\lim_{m\to\infty}a_m\in\{a_n\}\)的反例. 这里\(\{a_n\}\) 严格
地说是集合 \(\{a_n\mid n\in\mathbb{N}^+\}\). 由于某些人坚持存在无穷大自然数，对他们
来说，\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a_{\infty}\in\{a_k\mid k\in\mathbb{N}^+\}\) 天经地义，不证自明。
那么有没有无穷大自然数这件事情就成了反例存在与否的问题.  这个问题不
受人类数学关注是因为没有无穷大自然数是皮亚诺公理的直接推论。对此的
异议只出现在本版块。不过本版块不是为这些医治教育或打击这些异议人士
而设立的。澄清真相，梳理认知，提高水平，分享心得才是目的。这个过程
其实不会得罪人，人感到被得罪是他自找的。
所以我们来挑战自己一下，能不能找到一种大家公认的收敛序列\(\{a_n\}\),它
不含 \(a_{\infty}\)? 答案是肯定的, 康托有理数基本列就是收敛的有理数列,不
含无理数项, 任选一个收敛到无理数的有理数序列\(\{a_n\}\), 便构成所需反例
而无需纠结无穷大自然数的存在性。

容易证明 \(\sqrt{2}\)不能表为二正数之比, 因而不是有理数, 是无理数。可见我们
的任务是给出一个收敛于\(\sqrt{2}\)的有理数序列. 注意到方程 \(x^2=2\)的牛顿
切线迭代解法 \(a_{n+1}=a_n-{\large\frac{a_n^2-2}{2a_n}}={\large\frac{a_n^2+2}{2a_n}}\;\small\;((x^2-2)'=2x).\)
归纳地定义一有理数序列如次： \(a_1=2,\,a_{n+1}={\large\frac{a_n^2+2}{2a_n}}\;(n\in\mathbb{N}^+).\)
于是\(\{a_n\}\)为有理数序列由其通项的归纳定义保证，而序列的极限为方程
\(x^2=2\)的正根由牛顿切线法保证。

春风晚霞

命题n→∞ \(\frac{1}{10^n}=0\)是真命题，而不是笑话！elim为反春氏可达，几乎篡改现行数学的所有理论基础，故意省略n→∞这个题设条件，力图为芝诺、惠施招魂！这种不讲学术道德，昧数学人良心之举，也只有elim才做得出来。elim并不懂什么是∞，什么是命题的反例。也不懂学术证明必须兼容自洽，其笑话多多。只是他这个人的脸皮很厚，明知错了也要争个赢！

春风晚霞

你连原命题都没弄懂，还能构思出这个原命题的反例？两个并无联系的命题，能互作反例？如原命题是“人不吃屎”，你去弄了条狗来说“谁说人不吃屎？这条狗不就要吃屎吗？”难道这也叫反例？

春风晚霞

命题n→∞ \(\frac{1}{10^n}=0\)是真命题，而不是笑话！谁都知道春氏可达的数学表达式为\(\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=a\iff (n→∞)时，a_n=a\). elim反春氏可达己近半年了，至今连春氏可达的充分必要表达式都没弄懂！忙活半年，都是在彰显他对现行数学的无知！充分体现e氏数学=学阀+无赖+流氓 .他贴出的所谓”反例“便是他学阀(从不读论敌或论友的帖子)、无赖、流氓的铁证！

春风晚霞

elim 发表于 2024-5-4 11:23
文不对题。主贴谈的思路你是一点都没有啊，呵呵

命题n→∞ \(\frac{1}{10^n}=0\)是真命题，而不是笑话！elim为反春氏可达，几乎篡改现行数学的所有理论基础，故意省略n→∞这个题设条件，力图为芝诺、惠施招魂！这种不讲学术道德，昧数学人良心之举，也只有elim才做得出来。elim并不懂什么是∞，什么是命题的反例。也不懂学术证明必须兼容自洽，其笑话多多。只是他这个人的脸皮很厚，明知错了也要争个赢！

春风晚霞

elim你骚整的那个东西与\(\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=a\iff (n→∞)时，a_n=a\)有什么关系？你骚整出来的那个式子是春风晚霞哪个命题的反例？是反的春氏命题的题设还是结论？自然数集N的成员不是变量，这样的话也只有你才说得出来？elim先生，讨论数学，切忌撒谎！因为每撒一个谎都需要干百个谎言来圆谎。elim先生，你虽然脸皮很厚，但多次打脸你还是应该感到羞愧吧？

春风晚霞

elim先生认为【无穷数列是\(\mathbb{N}到\mathbb{R}\)的子集函数。\{a_n\}是\(\mathbb{N}到\mathbb{R}\)的子集函数。\(a_n=a\)表示a属于\(\{a_n\}\)的值域. 那么\(a=\displaystyle\lim_{m\to\infty}a_m\)一定属于\(\{a_n\}\)的值域吗？】是呀，\(a=\displaystyle\lim_{m\to\infty}a_m\)一定属于\(\{a_n\}\)的值域！elim又认为【春先生称一定属于. 难怪他现在是蠢疯顽瞎了.除非\(a=\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n\)是\(\{a_n\}\)的值域的孤立点，它都不属于所论值域】？elim先生，你认为常值函数\(a=f(a)=\displaystyle\lim_{m\to\infty}a_m\)也是\(\{a_n\}\)值域的孤立点吗？真是荒唐！
elim先生何必装神弄鬼，春氏可达是成立的！
​

elim

春风晚霞 发表于 2024-5-3 14:46
你连原命题都没弄懂，还能构思出这个原命题的反例？两个并无联系的命题，能互作反例？如原命题是“人不吃屎 ...

我的帖子既然与你的原命题无关，你跳出来干什么？

春风晚霞

根据威尔斯特拉斯极限定义中的〖对任给的ε>0，存在\(N_ε>0\)，当n>\(N_ε>0\)时，恒有|\(a_n-a|<ε\)，则称常数a是数列\(\{a_n\}\)的极限，记为\(\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=a\)〗以及无穷大的定义〖若整序变量\(x_n\)，由某项开始，其绝对值变成且保持着大于预先给定的任意大数E>0，当n>\(N_E\)时恒有|\(x_n |>N_E\)则称变量\(x_n\)为无穷大〗（参见菲赫全哥尔茨《数学分析原理》两卷四册版第一卷第一分册P59页无穷大的定义)，整序变量\(N_ε\)(也就是正整数)把自然数集N分成两个部分，且自然数集N=\(\{n｜n≤N_ε，n∈N\}\bigcup\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)，所以\(a_n=\begin{cases}
f(x)\;\;x∈\{n｜n≤N_ε，n∈N\}&①\\a\;\;\;x∈\{n｜n>N_ε，n∈N\}&②
\end{cases}\)所以当n→∞(即n∈\(\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)时，\(a_n=a\)！

&#8203;elim读过数学，也知道威尔斯特拉斯极限定义.但他只知其然不知其所以然。他也不愿对隐含在定义中的关键词语作深入的分析，甚至什么是∞，什么是n→∞都不知道？故此闹出不少笑话，真丢人丟到家了！

春风晚霞

根据威尔斯特拉斯极限定义中的〖对任给的ε>0，存在\(N_ε>0\)，当n>\(N_ε>0\)时，恒有|\(a_n-a|<ε\)，则称常数a是数列\(\{a_n\}\)的极限，记为\(\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=a\)〗以及无穷大的定义〖若整序变量\(x_n\)，由某项开始，其绝对值变成且保持着大于预先给定的任意大数E>0，当n>\(N_E\)时恒有|\(x_n |>N_E\)则称变量\(x_n\)为无穷大〗（参见菲赫全哥尔茨《数学分析原理》两卷四册版第一卷第一分册P59页无穷大的定义)，整序变量\(N_ε\)(也就是正整数)把自然数集N分成两个部分，且自然数集N=\(\{n｜n≤N_ε，n∈N\}\bigcup\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)，所以\(a_n=\begin{cases}
f(x)\;\;x∈\{n｜n≤N_ε，n∈N\}&①\\\\a\;\;\;x∈\{n｜n>N_ε，n∈N\}&②
\end{cases}\)所以当n→∞(即n∈\(\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)时，\(a_n=a\)！

;elim读过数学，也知道威尔斯特拉斯极限定义.但他只知其然不知其所以然。他也不愿对隐含在定义中的关键词语作深入的分析，甚至什么是∞，什么是n→∞都不知道？故此闹出不少笑话，真丢人丟到家了！