\(\large\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a\;\textbf{的点集拓扑等价定义}\)

elim

定义：对\(\delta>0,\,a\in\mathbb{R},\)称\(N(a,\delta)=(a-\delta,a+\delta)\)为\(a\)的\(\delta\)-邻域.

命题0：\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a\iff \exists a\,\forall \delta>0\,(\{n\in\mathbb{N}: a_n\not\in N(a,\delta)\}\text{是有限集}.\)
证：\(\big(\exists a\,\forall\varepsilon>0\exists N\forall n>N\,(|a_n-a|< \varepsilon)\big)\iff\)
\(\quad\big(\exists a\,\forall\varepsilon>0\exists N\forall n>N\,(a_n\in N(a, \varepsilon)\big)\iff\)
\(\quad\big(\exists a\,\forall\varepsilon>0\exists N\,(a_n\not\in N(a, \varepsilon)\implies n\le N\big)\iff\)
\(\quad\big(\exists a\,\forall \delta>0\,(\{n\in\mathbb{N}: a_n\not\in N(a,\delta)\}\text{是有限集}.\big)\)

定义\((^\star)\)若对任意\(\delta>0,\;\{n\in\mathbb{N}^+: a_n\not\in N(a,\delta)\}\)是有限集，则称\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a\).

注记：据命题0, 定义\((^\star)\)与序列极限的\(\varepsilon\)-\(N\)定义(Weierstrass)是等价的, 但前者
\(\quad\)更清晰的表明极限是收敛序列的内在(固有)属性, 不以\(\small n\to\infty\)与否为
\(\quad\)转移. \(n\to\infty\)也不保证极限属于数列的值域.

例1：\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}{{\small\frac{1}{n}}=0\not\in\big\{\small\frac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N}^+}\big\}\) (\(\{\frac{1}{n}\}\) 以不属于其值域的\(0\)为极限.

例2：设\(f\)在含\(a\)的开集上可微, 则 \(a_n{\small=\dfrac{f(a+\frac{1}{n})-f(a)}{\frac{1}{n}}}\to \small f'(a)\;(n\to\infty).\)
\(\quad\)但没有n 使\(\frac{1}{n}=0\). 所以极限的Weierstrass 定义化解了第二次数学危机：
\(\quad\)求导不涉及以0为分母的操作，差商的极限不是终极商, 而是差商序列的聚点.

春风晚霞

       极限的Weierstrass 定义:\(对\forall ε>0，\exists N>0，当n>N时恒有|a_n-a|< ε\)，则称\(\{a_n\}\)的极限是a，记为\(\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=a\).特别的当\(a_n=\tfrac{1}{n}\)时\(\displaystyle\lim_{n→∞}\tfrac{1}{n}=0\)，故此根据Weierstrass 极限定义存在无穷多个n 使\(\frac{1}{n}=0\)(因自然数集中大于N的数本身就有无穷多个嘛！)
       elim先生数学人都知道点集拓扑知议识是建立在Weierstrass 极限定义之上的，所以用点集拓扑知识，论证Weierstrass 极限定义，不管论证是对还是错都是典型的循环论证！非常感谢elim先生，为反对春氏可达你再次提供了篡改Weierstrass 极限定义的范例。其实elim先生的一切“创新”皆是建立在自然数集是有限集基础上的，elim先生自然数集N真的就是有限集吗？如\(N^+\)是有限集，你能指出\(N^+\)中哪个自然数n无后继吗？

春风晚霞

elim 发表于 2024-5-7 04:31
Weierstrass 极限定义，不纯在\(n\) 使得 \(\frac{1}{n}=0,\) 只有 \(\frac{1}{n}\)趋于 0.

elim先生你指出N^+中哪个自然数n无后继了吗？它等于几？为什么它无后继？

elim

春风晚霞 发表于 2024-5-6 12:49
极限的Weierstrass 定义:\(对\forall ε>0，\exists N>0，当n>N时恒有|a_n-a|< ε\)，则称\(\{a_n\} ...

Weierstrass 的极限定义从不声称存在\(n\)使\(\frac{1}{n}=0,\) 只断言 \(\frac{1}{n}\)趋于 0.

春风晚霞

elim 发表于 2024-5-7 04:41
Weierstrass 的极限定义从不声称存在\(n\)使\(\frac{1}{n}=0,\) 只断言 \(\frac{1}{n}\)趋于 0.

这不是Weierstrass 的极限定义吧？怎从看都是elim的定义嘛！

elim

春风晚霞 发表于 2024-5-6 13:48
这不是Weierstrass 的极限定义吧？怎从看都是elim的定义嘛！

这是根据 Weierstrass 的极限的逻辑推论。怎么老痴也不懂极限。

elim

从主贴知道，jzkyllcjl 到现在还不知道极限概念就应该与达到做切割，这才是化解的二次数学危机的一劳永逸的方法. 也是回到极限概念的本真的作法。

蠢疯可达正好装在贝克莱的刀口上。愚蠢至极。

春风晚霞

因为\(\displaystyle\lim_{n→∞}\tfrac{1}{n}=0\iff （n→∞).\tfrac{1}{n}=0\)
所以0∈\(\{n|\tfrac
{1}{n}=0\;\;n∈N^+\}\)。
elim先生总认为\(N^+\)是有限集，请问\(N^+\)的“限”在哪里？这个“限”的后继还是自然数吗？为什么？
你能指出N中哪个自然数无后继吗？
&#8203;elim根本就不知道二次危机是什么？\(\displaystyle\lim_{n→∞}\tfrac{1}{n}=0\iff （n→∞).\tfrac{1}{n}=0\)
所以0∈\(\{n|\tfrac
{1}{n}=0\;\;n∈N^+\}\)与贝克莱悖论有什么关系？

elim

春风晚霞 发表于 2024-5-6 13:39
elim先生你指出N^+中哪个自然数n无后继了吗？它等于几？为什么它无后继？

既然老春头扯出无后继自然数，理当自行晒出。跑这里顾左右而
言他转移话题？主贴指出，极限无需使用\((n\to\infty)\)催化就存在，
\((n\to\infty)\)也不能把极限加入序列的值域, 除非它本来就在值域中.
看来是这件事让篡改标准分析的老春头不爽了,呵呵

elim

如果有\(n\)使\(\frac{1}{n}\small=0,\)那么就有\(n\)使\(\frac{f(a+\frac{1}{n})-f(a)}{\frac{1}{n}}\)的分母等于\(\small 0\),  老春头倒是
对贝克莱很友好啊，蠢痴可达就是为他打造的吧？呵呵。