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圆锥曲线的切线方程——离心率、准线、切线以及它们的光学性质(三)

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发表于 2024-6-11 00:30 | 显示全部楼层 |阅读模式
圆锥曲线的切线方程——离心率、准线、切线以及它们的光学性质(三)

原创 深度一佳 深度一佳 2024-05-16 10:30 山东

我们现在把以前发的一篇短文增加一点切线方程新的算法:

圆锥曲线的光学性质和它们的切线方程其实是同一个问题。

因为一个曲面的光学性质,肯定和曲面的法线有关。

光线在曲面某一个点的反射方向,取决于曲面在这个点的法线,法线两侧的入射角和反射角是相等的;而曲面法线,又必然和曲面上这个点的切线相互垂直。就比如下面这种例子:



如图所示:如果有一束光,从椭圆焦点射出至 P 点,这束光的反射光线,一定会指向椭圆的另外一个焦点。

如果想要证明这个结论,必须先把曲面在 P 点的切线方程写出来,然后才能得到 P 点的法线方程,如果这条法线 PA ,能平分焦点三角形两条光线的夹角,那么我们上面的结论就是正确的。

所以第一步要做的就是求曲面在 P 点的切线方程。

我们可以设出点 P 的坐标,根据点斜式写出它的方程,然后把这个方程和椭圆的方程联立。因为切线和椭圆只有一个交点,那么这个联立的方程只会有一个解。



则方程可以写成:



把这个方程和椭圆方程联立:



代入法消去 y ,可以得到 x 的一元二次方程。因为这条切线和椭圆交点只可能有一个,所以让判别式等于 0 ,即可求出K的代数式,将这个 k 的代数式代入切线方程中,就可以得到椭圆在 P 点处的切线方程:



这个方程的长相和椭圆方程差不多,只不过使用点的坐标代替了其中的一个变量而已。

不只是椭圆的切线方程长这样,其它圆锥曲线的切线方程的长相也大致如此,比如设抛物线的切点:



那它的切线方程可以写成:



将它和抛物线方程联立:



我们现在将抛物线方程改造一下:



将它代入切线的方程:



这个关于 y 的方程也有一个解,所以判别式也是等于 0 ,所以:



解得:



将它代入切线方程:



我们为了得到和椭圆切线方程类似的形式,这个式子接下来的化简和整理,就要奔着同样的形式进行,也就是:



因为:



所以,把上式整理就得抛物线切线方程的统一形式:



我们注意到抛物线上的任意一个点的切线斜率都是:



根据这个结论,我们当然也可以直接写出抛物线上一个确定点的切线方程,没必要遵从圆锥曲线切线方程的统一形式。

同样的方法,也可以得到双曲线的切线方程,模样也是相同的:



上述求圆锥曲线切线方程的方法很传统,是最常用的一种,推导过程计算量很大,为了得到统一的形式,也用到了很多的技巧,需要很好的多项式的化简功夫和恒等变形的能力,但好在它的思路清晰,大多数同学们都能想到,而且细心点也能做到很完美,所以,我依旧推荐这种方法,虽然很笨,但符合常规思维,适合大多数学生。

当然,如果你愿意,也可以通过对双曲线的方程进行求导的方式,求出 y 的导函数,然后代入确定点的值,就可以得到切线斜率,这里我们以抛物线为例:



这就是 y 的导函数,然后再把确定点的坐标代入,即可得到某一点的切线斜率。

不过这种做法牵涉到隐函数求导,虽然简单有效,但并不推荐中学生使用,因为阅卷时有被扣分的风险存在。

不过,一旦推导完成一次以后,你就可以直接使用上述结论,而无需再次推导。

也就是说,你可以在考试中,直接使用上述公式对付圆锥曲线试题中,那些不需要写出解题过程的选择题和填空题,也可以在大题中首先采用上述结论得出最终的切线方程,得出这个最终结论之后,再返回头,装模作样地把假设的切线方程和圆锥曲线方程联立,省略中间的计算过程,直接写出你刚才已经得到的答案就可以。这样做一来可以提高解题效率,节省时间,二是可以避免因为过程缺乏而造成的扣分。

感谢您的阅读!文中如有错误,欢迎留言指正!

深度一佳

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