在圆周上任取三点 A,B,C ，求 A,B,C 三点落在同一半圆周内的概率

天山草

我用 VB 语言编写了一个小程序，用产生随机数的方法模拟每次的试验，试验次数累计到 1 亿次，求得概率为 0.74999832（理论概率是0.75）。
程序如下：   
         
     Private Sub form_Click()         
     Randomize     '启动随机数发生器
     n = 0
     For i = 1 To 1000000   ' 试验次数
      b1 = 360 * Rnd  '产生三个 1 至 360 之间的随机数
      b2 = 360 * Rnd
      b3 = 360 * Rnd     
     If b1 <= b2 And b1 <= b3 And b2 <= b3 Then a1 = b2 - b1: a2 = b2 - b3
     If b1 <= b3 And b1 <= b2 And b3 <= b2 Then a1 = b3 - b1: a2 = b3 - b2
     If b2 <= b1 And b2 <= b3 And b1 <= b3 Then a1 = b1 - b2: a2 = b1 - b3
     If b2 <= b3 And b2 <= b1 And b3 <= b1 Then a1 = b3 - b2: a2 = b3 - b1
     If b3 <= b1 And b3 <= b2 And b1 <= b2 Then a1 = b1 - b3: a2 = b1 - b2
     If b3 <= b2 And b3 <= b1 And b2 <= b1 Then a1 = b2 - b3: a2 = b2 - b1
     
     If a1 <= 180 And -a2 <= 180 And a1 + (-a2) <= 180 Then n = n + 1  '三个点同在半圆内的情况一      
     If a1 >= 180 And -a2 >= 180 And (360 - a1) + (360 + a2) <= 180 Then n = n + 1 '三个点同在半圆内的情况二      
     If a1 >= 180 And -a2 <= 180 Then n = n + 1    '三个点同在半圆内的情况三      
     If a1 <= 180 And -a2 >= 180 Then n = n + 1    '三个点同在半圆内的情况四     
    Next i
    Print "s="; n / (i - 1)      
End Sub

    说明一下编程思路——
    假定这圆周内部是一个圆盘，游戏者每次往盘上投掷三枚飞镖。
    从圆盘中心向这三枚飞镖引三条射线，与圆周交于三点。这三点位于同一半圆圆周上的概率即为所求。
    每试验一次，程序就产生三个 1 至 360 的随机数 b1，b2，b3，代表三枚飞镖的角度，将这三个角度同步旋转，使中间值角度到达 0 度位置，此时最大角度算是正角度，最小角度算是负角度。程序中将正角度记为 a1，负角度记为 a2，那个中间值角度 a0=0 不必要在程序中出现。   
    每试验一次，就把三枚飞镖是否落在同一半圆内的次数进行统计，最后算算总账，即得概率。
    编程难点是，如何考虑 a0，a1，a2 是位于同一半圆内？ 如果对各种情况漏掉或多算，就出错了。我考虑的四种情况是：
    （1）如果 a1，a2 都在第一、第二象限中，则 a0，a1，a2 位于同一半圆内；
    （2）如果 a1，a2 都在第三、第四象限中，则 a0，a1，a2 位于同一半圆内；
    （3）如果 a1 在一、二象限中，而 a2 在三、四象限中，就要计算 a1a0a2 圆弧是否小于半圆，是，则 a0，a1，a2 位于同一半圆内；
    （4）如果 a2 在一、二象限中，而 a1 在三、四象限中，就要计算 a1a0a2 圆弧是否小于半圆，是，则 a0，a1，a2 位于同一半圆内。

luyuanhong

谢谢楼上 天山草 的编程解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

王江

luyuanhong 发表于 2014-10-21 23:36

王江

天山草 发表于 2016-10-17 09:13
我用 VB 语言编写了一个小程序，用产生随机数的方法模拟每次的试验，试验次数累计到 1 亿次，求得概率为 0. ...

王江

EMROF

bilibili av17275211
3b1b的中国官方账号。这个视频讲了一个球面任取四点，球心落于其形成的四面体的概率，弱化形式为一个圆任取三点，圆心落于其中的概率。而不包含圆心与本题落在同一半圆等价。

markfang2050

在半径为1cm的圆周上任取24点，则24个点落在同一3/7圆周内的概率是多少？

markfang2050

python3.6求随机5点共半圆的概率.10000次实验随机5点共半圆的概率是：5/16=0.310700


#编程难点：如何考虑 a1，a2，a3 ,a4,a5是位于同一半圆内？考虑的5种情况：
    #（1）如果 a1a2 弧长与a2a3 ，a3a4,a4a5弧长之和小于半圆弧长，则a1，a2，a3 ,a4,a5 位于同一半圆内；
    #（2）如果 a1a2 弧长与a2a3 ，a3a4,a4a5弧长之和大于半圆弧长且a1a2 弧长大于半圆弧长，则a1，a2，a3 ,a4,a5 位于同一半圆内；
    #（3）如果 a1a2 弧长与a2a3 ，a3a4,a4a5弧长之和大于半圆弧长且a1a2 弧长小于半圆弧长,a2a3大于半圆弧长，则a1，a2，a3 ,a4,a5 位于同一半圆内；
    #（4）如果 a1a2 弧长与a2a3 ，a3a4,a4a5弧长之和大于半圆弧长且a1a2 ,a2a3弧长小于半圆弧长,a3a4大于半圆弧长，则a1，a2，a3 ,a4,a5 位于同一半圆内；
    #（5）如果 a1a2 弧长与a2a3 ，a3a4,a4a5弧长之和大于半圆弧长且a1a2 ，a2a3,a3a4弧长小于半圆弧长,a4a5大于半圆弧长，则a1，a2，a3 ,a4,a5 位于同一半圆内；

markfang2050

10000次实验随机4点共半圆的概率是：0.499400

markfang2050

#10000次实验随机3点共半圆的概率是：0.754900