用公式法求解特殊佩尔方程

蔡家雄

用公式法求解特殊佩尔方程

设 \(d=2^{2n+1} -1 \) ，

求 \(x^2 - d*y^2=1\) 的最小解，

设 \(x=d*r^2+1\) , 求 最小的 \(r= ?\)

使 \(y=((d*r^2)*(d*r^2+2)/d)^{1/2}\) 是整数。

1 (7, [8, 3])
2 (31, [1520, 273])
3 (127, [4730624, 419775])
4 (511, [4188548960, 185290497])
5 (2047, [5566204448, 123026943])
6 (8191, [137168708703221032895073625802589931406141894540466576152225731961377054107539335040, 1515606947046439809691055132298479939258772521204671748899078157656970867149893633])
7 (32767, [4989395453057620761318437024, 27563196825452342280188415])
8 (131071, [68012246112042192848000, 187859780807502143487])
9 (524287, [46997567320561778145191353610962878307987934593756793094427946763383336928816934242481086061476715595745859044117929495717576882495512013272009350122748657837297172805929900209856744164860003129102095470554027278444403614698310930195231667607295884200937188090279571190579061930767996574039047421403571939359840263187167295467057381580417022064357611621451352561562440161111807908201761856905236583371614657642824269432164359502751873003576866612568082872108067683541142293147523053373426326394532201231880879016720914034037527494035878025515276564347843206711912343432348946721305069707108143792557407643740316164224, 64906895008741122476222937583214609214243799343511042599770186693462505668024604821997293668498982744884496689072778902714164446881210975097103993081187378767551871768967055215221731508471912677599134669670778307686638503086861330068780326391434525717635311171812276918961490673285815482166096497112496202129039439516524661906563996866258177830913974661644392881180263757110495349973522174642669167999546080787182227944467163959051276031077066053223740563434912973906942490225545215546942556046567271856598842966734789024069142174111721341814056011491824374521545759295523871629793392166520592149699929568200351745])
10 (2097151, [94716390224614473408540822118113461048452313411820973215983824757335816500342324560789047374282847806009714778621972049086083922828444965267321229715897075070580677225533794783475554185165522956179202380273231115554458953955517542095864979978481990501635325801973427056692681449780979129744252153653028410826103368612341846012894446748561572667652160, 65404900180987526520505029585445844658185900613734410857615652737952867201530958096058535800003294047733713613634131099428721918752038293902093037577350108052529075142957670861394586353233358311356186212004814489737922917832914662488617368055701767664767158479023604548319172656813646225620266344943525094720499185141955249955405063452172806391807])


设 \(d=2^{2n+1}+11 \) ，

求 \(x^2 - d*y^2=1\) 的最小解，

设 \(x=d*r^2 -1\) , 求 最小的 \(r= ?\)

使 \(y=((d*r^2)*(d*r^2 -2)/d)^{1/2}\) 是整数。

1 (19, [170, 39])
2 (43, [3482, 531])
3 (139, [77563250, 6578829])
4 (523, [81810300626, 3577314675])
5 (2059, [76292657571747809951, 1681336224678949560])
6 (8203, [69876915611822519318, 771520323981133629])
7 (32779, [80398835008645600324801235608771036666670182431880486400032257485064770658401842307691224942422999531536156600364499923056796970, 444070481702336563743442162036596677391329202863273716321349178397032836203330537445461630919283792936487491412555761435022659])
8 (131083, [712391055453831000489441596851496374586922211968388426389868928977886834600835988092416446450847, 1967638319811445164614618584089426421183233564951501613871659298300476433553720642927098589576])
9 (524299, [262370423419022052948006380362585230636886087574885576160106593835878424107999431011992139225761227061447388396667090, 362347576933161309620975692036326829940654492435422509507444016197507206937437226010673272525903902430923747403149])
10 (2097163, [66551049079488501983959284853373248448554106736699729803934265156536874676626434177518523856595115847326033553714770905049243078368745726019557433640728343803399, 45955639339182891136502078220721866137731621744981660957938911432411265785268208500581497233009913599223286111395352680221603536538078514618343979427535429580])


设 \(t>=0\) , \(d=4^{t+2}+3\) ,

求 \(x^2 - d*y^2=1\) 的最小解，

设 \(x=d*r^2 -1\) , 求 最小的 \(r= ?\)

使 \(y=((d*r^2)*(d*r^2 -2)/d)^{1/2}\) 是整数。

0 (19, [170, 39])
1 (67, [48842, 5967])
2 (259, [847225, 52644])
3 (1027, [133150393, 4154868])
4 (4099, [6290679704195680536253612607008970662569749959960678667690, 98255894580947570793022586715791022877883393268276434001])
5 (16387, [11413027877434405409306870876631302, 89156118179665453435575511820337])
6 (65539, [6626987825251499940163644435438427657285605581778805650604671321439032704650227419569798702986515177884092626923423746897824217909664252366878028116392925544302544564813604764312894508009793862769489442946848410, 25886078713846848077540951727476971048660042171394841096343736446933897961080712295438431388466376567441157759365264502952910937004522407589434559131549013776596141391286134866897248681517810343464137085201679])
7 (262147, [461824715334079741401519303469504108330873412595592379829070562602875729178271042587960795189884479307292999341798093671040889345880714782458533465979666854073891767873038415959346557561109813822844640447229155501280451825605904774502577690098914740105088441699938619497758257893185226, 901996235887778937057743017583816500902733916131179182975046645499562912967305336150598729595983745922905890921818634606381383310249439070803040676565484234897617020025864775061633330791260216497072863048513377755273583285544543505939632797367764427395085022540331278012923129671185])
8 (1048579, [29776562622206178677730301142172546168291680332575443613253737607023929466971985325370114852698324417371451354347021086491467628966574696503298021764323853197195987312312976427633035743421980526040891707884185731169885041010222716536916751344923695073488237907927706327511181595881545468470585, 29078632838460032672666403050034204085460299673474260078426358718677635257573796496235301168927215703715536805459846463870144135282884727833097966936851168466377694310989456524746214821453380704124450764599593272341211324167432854315242930574639751471817538820290318871993958129089261314516])
9 (4194307, [25117668700757563653335457424693186499343253477468658168439843983648792643078346871742185090650829273128220192287509997202739528105193307898223534107084812545193085970193081959010079271378513867355783149228660891615201876345643100234555174885698, 12264482284171904013989712412289501754938887650714341377823346440598175567868634964373211558180631462153143335767287279311805837025346887031087964999355087525229310401332966841853143651995408496582378346852444671530903857372029317908160695423])
10 (16777219, [165538855338538541294520542671406644531477493498893623619963986289283279108371357103275177798948570988234668100614373256599076525178579541017528601789196799, 40414755990774785816699650975371229136677753557318861712986530079888102157828602884103566909987591921158096123624204149502584894033348180791836050488160])


设 \(t>=0\) , \(d=4^{t+2}+7\) ,

求 \(x^2 - d*y^2=1\) 的最小解，

设 \(x=d*r^2+1\) , 求 最小的 \(r= ?\)

使 \(y=((d*r^2)*(d*r^2+2)/d)^{1/2}\) 是整数。

0 (23, [24, 5])
1 (71, [3480, 413])
2 (263, [139128, 8579])
3 (1031, [651737448664200, 20297537082877])
4 (4103, [36076932, 563221])
5 (16391, [52472886125273249168576935, 409856877328651972146708])
6 (65543, [41780761229710759094849505962993865917706803726191499359145061011994559849082511321952117034371527885710237688, 163197383105723735856182252498452836185524714027012978030385027507904070465599631685229749329039036679421949])
7 (262151, [72919501603120923013270672024141768578706836731811057353841647799969090234358400005317356344197149147239301670533135933749679112145897442497905988746497586725820191966341208118863314358760, 142419000082493600157839034265172632792305052672094541862089637471232086383865308126948109745798108066784404636850506703442647442173796351018334532948853648798894885826723428723794562307])
8 (1048583, [418229444023502271361812404617873926746992317871256949587464210764596500805651130752157377718599287500969695548929536492357103050025530995451192612782974155158251130179318873881058564997395623111811664356164877077981455623488750429751206076422161607460692253488914657675151863967623958352674686098942388140029808502995477518988282157821379091543923746773312815140290495995102220328, 408425828163197962003832720560210417423586434034709599430402144473753992372140369540717657424064448265632501677112941950805810763684256393223756058397515042741908003309627714276604060934296253320289390884127450710539654042120642168558451580131953471841986579370509209368405079585980274711779811151691110790037070509897410512742552098517092232184815889988689044506228933231818499])
9 (4194311, [51177054942435006277229234536620832079444803721125541132021470455820858871814804794857324858228402746532292339295515713235199790870528664021032810391685783026504588734199209057085306058647981957842238967078368667128165377355648672803222147567944156720419449185256655797769215055178564765985227094358168236975681995839991327487079917829920872375810321019832137169884560607208961828411383883914582356557322270066580657182774406297808991338679202909994511114671232104409331590335330835903373122527635746167780, 24988775506360319141826550074426223136987102897607547179104530942622750976201631646786329811140689212765079836744732351129725319420842450572656257702441606875729687408639638340611805165566960030674676979535174702602425251628674213251143161381403282727563043351599695274933985418257973274185624894371898795501862187860896736106867593870932741384823998126520338238497521194509632197513334484152395781003888156585302734563446428778824202320580122873260868579459893393948197917193337027663923215160591349397])
10 (16777223, [3352794142606776554737283396545455877813836162704255416005798405010451840621496841467507112294049620163554858705779009781925131361764415613114860399109051987646983019114153032902195590259008902005124786195991201925356749188180604386663455448808967965603181185620401171730273085591330497829237152, 818553086708894498533150539407674059525330169184097833631896269142138216535942857956080806385820036837989137822853140264221488514005189740716793850834153613502827027947737843684168670016020634664318345945443367495486986629629040276212942493832107589655351652267594369708052478558593705632669])


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=2*((2n+1)^2+4)*(2n^2+2n+1)^2 -1\) ,

     \(y=(4n+2)*(n^2+(n+1)^2)*(n^2+(n+1)^2+1)\) .


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= -1\) 的最小解

则 \(x=(2n+1)*((2n+1)^2+3)/2\) , \(y=((2n+1)^2+1)/2\) .


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=±((2n+1)^2+4)\) 的最小解

\((2n+1)^2+4=5, 13, 29, 53, 85, 125, 173, 229, 293, 365, ..... \)

(5,[5,2],[20,9])
(13,[65,18],[2340,649])
(29,[377,70],[52780,9801])
(53,[1325,182],[482300,66249])
(85,[3485,378],[2634660,285769])
(125,[7625,682],[10400500,930249])
(173,[14705,1118],[32880380,2499849])
(229,[25877,1710],[88499340,5848201])
(293,[42485,2482],[210895540,12320649])
(365,[66065,3458],[456905540,23915529])


三条件的素性测试新算法：

Ln = ((1+√5)/2)^n+((1 - √5)/2)^n
    = 1，3，4，7，11，18，29，47，......

Cn = [(1+√2)^n+(1 - √2)^n]/2
    = 1，3，7，17，41，99，239，577，......

若 2^(n-1)  mod  n = 1,
且 Ln   mod   n = 1,
且 Cn   mod   n = 1,
则 n 一定是素数。


编程验证
s = 1;
For[n = 1, n <= 1000000, n++,
If[(Mod[2^(n - 1), n] == 1)
&& (Mod[Round[((1+√5)/2)^n+((1 - √5)/2)^n], n] == 1)
&& (Mod[Round[((1+√2)^n+(1 - √2)^n)/2], n] == 1), s=s+1;
  Print[s, "-----", n, "-----", PrimeQ[n]]]]


如下这个函数指令，

PowerMod[10, 2^32, 499927^25*2^32+1] 可以验证到 m <=10^10000（一万位数）

表示：10^(2^32) 模素数 499927^25*2^32+1 的余数，，，，，，，，，

三条件的素性测试新算法：征求：最新编程验证

即由 公式算法 成为实用的 计算机算法！！！

蔡家雄

素数倒数最大循环节长定理

设 k 为非负整数，

若 30k+7 和 120k+29 都是素数，

则 1/(120k+29) 具有最大循环节长d= 120k+28.


蔡氏完全循环节问题

设 n>=3,

设 P 和 2^n*P+1 都是素数，

且 10^(2^n) -1 不能被 2^n*p+1 整除，

若 2^n*P+1 ≡ 17或33（mod  40），

则 10 是 2^n*P+1 的原根，

则 1/(2^n*p+1) 具有最大循环节长d= 2^n*p .


设 k 为正整数，t 为非负整数，

若 30k+17 和 2^(4t+3)*(30k+17)+1 都是素数，

则 10 是素数 2^(4t+3)*(30k+17)+1 的原根。

若 30k+29 和 2^(4t+3)*(30k+29)+1 都是素数，

则 10 是素数 2^(4t+3)*(30k+29)+1 的原根。


设 k 为正整数，t 为非负整数，

若 30k+1 和 2^(4t+4)*(30k+1)+1 都是素数，

则 10 是素数 2^(4t+4)*(30k+1)+1 的原根。

若 30k+7 和 2^(4t+4)*(30k+7)+1 都是素数，

则 10 是素数 2^(4t+4)*(30k+7)+1 的原根。


设 k 为正整数，t 为非负整数，

若 30k+11 和 2^(4t+5)*(30k+11)+1 都是素数，

则 10 是素数 2^(4t+5)*(30k+11)+1 的原根。

若 30k+23 和 2^(4t+5)*(30k+23)+1 都是素数，

则 10 是素数 2^(4t+5)*(30k+23)+1 的原根。


设 k 为正整数，t 为非负整数，

若 30k+13 和 2^(4t+6)*(30k+13)+1 都是素数，

则 10 是素数 2^(4t+6)*(30k+13)+1 的原根。

若 30k+19 和 2^(4t+6)*(30k+19)+1 都是素数，

则 10 是素数 2^(4t+6)*(30k+19)+1 的原根。

蔡家雄

具有完全循环节的一条龙素数及其代码

设 n≥3 ,              
                                                         
若 (10^n - 1)÷9×2+1是素数，   
                                             
则 10是(10^n - 1)÷9×2+1的原根，
  
则 1/[(10^n-1)÷9×2+1] 具有最大的完全循环节长。                                          
                                                                              
有 n=3, 8, 11, 36, 95, 101, 128, 260, 351, 467, 645, 1011, 1178, 1217, 2442, 3761, 3806, 15617, 26459, 63117, 88545, 93497, ......

ForIf[n = 101;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*2 + 1 - 1)/2, (10^n - 1)/9*2 + 1] == (10^n - 1)/9*2]


设 n≥3 ,         
                                                                                 
若 (10^n - 1)÷9×3+4是素数，  
                                                
则 10是(10^n - 1)÷9×3+4的原根，

则 1/[(10^n-1)÷9×3+4] 具有最大的完全循环节长。                                            
                                                                              
有 n=3, 6, 46, 394, 978, 2586, 2811, 2968, 3642, 4827, 4918, 5592, 5706, 10683, 12891, 14118, 74350, 88680, ......

ForIf[n = 394;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*3 + 4 - 1)/2, (10^n - 1)/9*3 + 4] == (10^n - 1)/9*3 + 3]


设 n≥3 ,   
                                                                 
若 (10^n - 1)÷9×4+3是素数，
                                                  
则 10是(10^n - 1)÷9×4+3的原根，

则 1/[(10^n-1)÷9×4+3] 具有最大的完全循环节长。                                               
                                                                                 
有 n=4, 10, 20, 26, 722, 1310, 3170, 28934, 66284, 67796, 231254, 338476, ......

ForIf[n = 722;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*4 + 3 - 1)/2, (10^n - 1)/9*4 + 3] == (10^n - 1)/9*4 + 2]      


设 n≥3 ,      
                                                                       
若 (10^n - 1)÷9×8-1是素数，
                                               
则 10是(10^n - 1)÷9×8 -1的原根，

则 1/[(10^n-1)÷9×8 -1] 具有最大的完全循环节长。                                         
                                                                           
有 n=3, 4, 6, 9, 12, 72, 118, 124, 190, 244, 304, 357, 1422, 2691, 5538, 7581, 21906, 32176, 44358，......  

ForIf[n = 118;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*8 - 1 - 1)/2, (10^n - 1)/9*8 - 1] == (10^n - 1)/9*8 - 2]      


设 n≥3 ,     
                                                            
若 (10^n - 1)÷9×2+7是素数，
                                                   
则 10是(10^n - 1)÷9×2+7的原根，

则 1/[(10^n-1)÷9×2+7] 具有最大的完全循环节长。                                             
                                                                                       
有 n=3, 5, 14, 176, 416, 2505, 2759, 7925, 9401, 10391, 12105, 19616, 261704, 264539，.......

ForIf[n = 176;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*2 + 7 - 1)/2, (10^n - 1)/9*2 + 7] == (10^n - 1)/9*2 + 6]


设 n≥3 ,
                                                                    
若 (10^n - 1)÷9×7+2是素数，
                                             
则 10是(10^n - 1)÷9×7+2的原根，

则 1/[(10^n-1)÷9×7+2] 具有最大的完全循环节长。                                          
                                                                           
有 n=66, 86, 90, 102, 386, 624, 7784, 18536, 113757, 135879，......

ForIf[n = 102;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*7 + 2 - 1)/2, (10^n - 1)/9*7 + 2] == (10^n - 1)/9*7 + 1]

蔡家雄

若 30k+7 与 120k+29 都是素数，

则 g=2, 3, 10 是素数 120k+29 的三个原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^(4r+1)*4+1 都是素数，

则 g=2, 3, 10 是素数 (30k+7)^(4r+1)*4+1 的三个原根。


设 k 为正整数，t, r 为非负整数，

若 30k+17 和 2^(4t+3)*(30k+17)^(4r+1)+1 都是素数，

则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+3)*(30k+17)^(4r+1)+1 的四个原根。

若 30k+29 和 2^(4t+3)*(30k+29)^(4r+1)+1 都是素数，

则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+3)*(30k+29)^(4r+1)+1 的四个原根。


设 k 为正整数，t, r 为非负整数，

若 30k+1 和 2^(4t+4)*(30k+1)^(4r+1)+1 都是素数，

则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+4)*(30k+1)^(4r+1)+1 的四个原根。

若 30k+7 和 2^(4t+4)*(30k+7)^(4r+1)+1 都是素数，

则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+4)*(30k+7)^(4r+1)+1 的四个原根。


设 k 为正整数，t, r 为非负整数，

若 30k+11 和 2^(4t+5)*(30k+11)^(4r+1)+1 都是素数，

则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+5)*(30k+11)^(4r+1)+1 的四个原根。

若 30k+23 和 2^(4t+5)*(30k+23)^(4r+1)+1 都是素数，

则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+5)*(30k+23)^(4r+1)+1 的四个原根。


设 k 为正整数，t, r 为非负整数，

若 30k+13 和 2^(4t+6)*(30k+13)^(4r+1)+1 都是素数，

则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+6)*(30k+13)^(4r+1)+1 的四个原根。

若 30k+19 和 2^(4t+6)*(30k+19)^(4r+1)+1 都是素数，

则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+6)*(30k+19)^(4r+1)+1 的四个原根。

蔡家雄

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= -1\) 的最小解

则 \(x=(2n+1)*((2n+1)^2+3)/2\) , \(y=((2n+1)^2+1)/2\) .

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4^k)*y^2= -1\) 的最小解，


求 \(x^2 - (n^2 -2)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=n^2 -1 , y=n\) .

求 \(x^2 - (n^2+2)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=n^2+1 , y=n\) .

求 \(x^2 - ((2n)^2 -4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=2*n^2 -1 , y=n\) .

求 \(x^2 - ((2n)^2+4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=2*n^2+1 , y=n\) .

求 \(x^2 - ((2n+1)^2 -4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=(2n+1)*(2n*(n+1) -1) , y=2n*(n+1)\) .

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=2*((2n+1)^2+4)*(2n^2+2n+1)^2 -1\) ,

     \(y=(4n+2)*(n^2+(n+1)^2)*(n^2+(n+1)^2+1)\) .


用公式法求解特殊佩尔方程

设 \(p=4k+1\) 是素数，

求 \(x^2 - p*y^2=1\) 的最小解，

设 \(x=2p*r^2 -1\) , 求 最小的 \(r=?\) ,

使 \(y=((2p*r^2)*(2p*r^2 -2)/p)^{1/2}\) 是整数。

推论：此时，

设 \(p=4k+1\) 是素数，

求 \(x^2 - p*y^2= -1\) 的最小解，

得 \(y=r\) ,  \(x=((2p*r^2)*(2p*r^2 -2)/p)^{1/2}/(2*r)\) .


设 \(d=8k+3\) 是素数，

求 \(x^2 - d*y^2=1\) 的最小解，

设 \(x=d*r^2 -1\) , 求 最小的 \(r= ?\)

使 \(y=((d*r^2)*(d*r^2 -2)/d)^{1/2}\) 是整数。

设 \(d=8k+7\) 是素数，

求 \(x^2 - d*y^2=1\) 的最小解，

设 \(x=d*r^2+1\) , 求 最小的 \(r= ?\)

使 \(y=((d*r^2)*(d*r^2+2)/d)^{1/2}\) 是整数。


设 p=4k+1 是质数，

则 x^2 - p*y^2=±p 都有解，并求出它的的最小解，

5 [5, 2] [20, 9]
13 [65, 18] [2340, 649]
17 [17, 4] [136, 33]
29 [377, 70] [52780, 9801]
37 [37, 6] [444, 73]
41 [205, 32] [13120, 2049]
53 [1325, 182] [482300, 66249]
61 [232105, 29718],[13795392780, 1766319049]
73 [9125, 1068] [19491000, 2281249]
89 [4717, 500] [4717000, 500001]
97 [55193, 5604],[618603144, 62809633]

由 两个 x 都是 p 的倍数，可以用公式法求解此方程，

由 x^2 - p*y^2=±1 可以推导出 x^2 - p*y^2=±p 的最小解。


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=2*((2n+1)^2+4)*(2n^2+2n+1)^2 -1\) ,

     \(y=(4n+2)*(n^2+(n+1)^2)*(n^2+(n+1)^2+1)\) .


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= -1\) 的最小解

则 \(x=(2n+1)*((2n+1)^2+3)/2\) , \(y=((2n+1)^2+1)/2\) .


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=±((2n+1)^2+4)\) 的最小解

\((2n+1)^2+4=5, 13, 29, 53, 85, 125, 173, 229, 293, 365, ..... \)

(5,[5,2],[20,9])
(13,[65,18],[2340,649])
(29,[377,70],[52780,9801])
(53,[1325,182],[482300,66249])
(85,[3485,378],[2634660,285769])
(125,[7625,682],[10400500,930249])
(173,[14705,1118],[32880380,2499849])
(229,[25877,1710],[88499340,5848201])
(293,[42485,2482],[210895540,12320649])
(365,[66065,3458],[456905540,23915529])

蔡家雄

难忘一题：

海伦三角形是指三边长及面积都是整数的三角形.
公元1世纪的希腊数学家海伦在他的《度量论》一书中，
给出过三边长分别为13,14,15其面积为84的三角形而得名.

三边长为连续整数及面积同为整数的海伦三角形？

求解：S=[(3k) * (k - 1) * k * (k+1) ] ^ (1/2) = 整数。

(6*1*2*3)^(1/2)=6
(21*6*7*8)^(1/2)=84
(78*25*26*27)^(1/2)=1170
(291*96*97*98)^(1/2)=16296
(1086*361*362*363)^(1/2)=226974
(4053*1350*1351*1352)^(1/2)=3161340
.................................................................................
递推公式
k(0)=1，k(1)=2，k(n)=4×k(n-1) - k(n-2)

通项公式
k(n) = [(2+√3)^n+(2 - √3)^n] / 2

蔡家雄

梅森素数与蔡氏完全循环节问题

设 素数 p >=7，

且 (2^p -1)=30k+1 或 (2^p -1) =30k+7 也是素数，

若 (2^p -1)*16^m+1=(2^p -1)*2^(4m)+1 是素数，

则 10 是素数 (2^p -1)*16^m+1 的原根，

则 1/((2^p -1)*16^m+1) 具有最大循环节长d= (2^p -1)*16^m .


判定梅森质数的卢卡斯序列

卢卡斯级数的通项公式

Ln=Round[((1+√3)/√2)^(2^n )/2]

L1=2,
L2=7,
L3=97,

L4=18817=(2^5 -1)(2^5*19 -1)=31*607 = 两个梅森质数的乘积，

并且：2^31 -1 与 2^607 -1 同为素数。

即有：2^30*(2^31 -1) 与 2^606*(2^607 -1) 都是 完全数。

L5=708158977,

L6=1002978273411373057

   =(2^7 -1)(2^7*61698958748239 -1)

   =127*7897466719774591 = 两个梅森质数的乘积，

已证：127 和 7897466719774591 都是素数，

已证：2^127 -1 是素数，据此 7897466719774591 是梅森素数，

即有：2^126*(2^127 -1) 是完全数，

以及：2^7897466719774590*(2^7897466719774591 -1) 是 完全数。

蔡家雄

蔡氏偶数分拆

设 2n >=64，且 p1, p2=2n -p1, p3=2n -p1 -30 , p4=p1+30 都是素数，

则 2n -30=p1+p3 , 2n=p1+p2=p3+p4 , 2n+30=p2+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡氏偶数分拆

设 2n >=280，且 p1, p2=2n -p1, p3=2n -p1 -210 , p4=p1+210 都是素数，

则 2n -210=p1+p3 , 2n=p1+p2=p3+p4 , 2n+210=p2+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。


哥猜之蔡氏四素数解

设 2n+15 >=49，且 p1, p2, p3=2*p2 -15, p4=2*p2+15 都是素数，

则 2n=p1+p3 与 2n+15=p1+2*p2 及 2n+30=p1+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡氏四素数解是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。


哥猜之蔡氏四素数解

设 2n+105 >=169，且 p1, p2, p3=2*p2 -105, p4=2*p2+105 都是素数，

则 2n=p1+p3 与 2n+105=p1+2*p2 及 2n+210=p1+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡氏四素数解是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。



同邻距的三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

最小解：p=7，  ( p, p+30, p+100 ) 与 ( 3p+130, 3p+160, 3p+230 )

最小解：p=11，( p, p+20, p+120 ) 与 ( 3p+140, 3p+160, 3p+260 )

最小解：p=13，( p, p+10, p+30 ) 与 ( 3p+40, 3p+50, 3p+70 )

最小解：p=17，( p, p+150, p+560 ) 与 ( 3p+710, 3p+860, 3p+1270 )

最小解：p=19，( p, p+40, p+180 ) 与 ( 3p+220, 3p+260, 3p+400 )

最小解：p=23，(  p, p+20, p+90 ) 与 ( 3p+110, 3p+130, 3p+200 )

最小解：p=23，(  p, p+30, p+260 ) 与 ( 3p+290, 3p+320, 3p+550 )

最小解：p=29，( p, p+30, p+80 ) 与 ( 3p+110, 3p+140, 3p+190 )

最小解：p=29，( p, p+30, p+110 ) 与 ( 3p+140, 3p+170, 3p+250 )

最小解：p=29，( p, p+30, p+740 ) 与 ( 3p+770, 3p+800, 3p+1510 )

最小解：p=31，( p, p+30, p+160 ) 与 ( 3p+190, 3p+220, 3p+350 )

最小解：p=31，( p, p+30, p+490 ) 与 ( 3p+520, 3p+550, 3p+1010 )

最小解：p=37，( p, p+30, p+520 ) 与 ( 3p+550, 3p+580, 3p+1070 )

最小解：p=37，( p, p+30, p+1150 ) 与 ( 3p+1180, 3p+1210, 3p+2330 )

最小解：p=41，( p, p+20, p+150 ) 与 ( 3p+170, 3p+190, 3p+320 )

最小解：p=43，( p, p+30, p+250 ) 与 ( 3p+280, 3p+310, 3p+530 )

最小解：p=47，( p, p+80, p+270 ) 与 ( 3p+350, 3p+430, 3p+620 )

最小解：p=53，( p, p+30, p+620 ) 与 ( 3p+650, 3p+680, 3p+1270 )

最小解：p=59，( p, p+30, p+350 ) 与 ( 3p+380, 3p+410, 3p+730 )

最小解：p=61，( p, p+40, p+600 ) 与 ( 3p+640, 3p+680, 3p+1240 )

最小解：p=67，( p, p+30, p+400 ) 与 ( 3p+430, 3p+460, 3p+830 )

最小解：p=71，( p, p+30, p+920 ) 与 ( 3p+950, 3p+980, 3p+1870 )

最小解：p=73，( p, p+30, p+1420 ) 与 ( 3p+1450, 3p+1480, 3p+2870 )

最小解：p=79，( p, p+30, p+280 ) 与 ( 3p+310, 3p+340, 3p+590 )

最小解：p=83，( p, p+30, p+290 ) 与 ( 3p+320, 3p+350, 3p+610 )

最小解：p=89，( p, p+60, p+2450 ) 与 ( 3p+2510, 3p+2570, 3p+4960 )

最小解：p=97，( p, p+60, p+880 ) 与 ( 3p+940, 3p+1000, 3p+1820 )

这种 同邻距的三生素数 有 无限多组 ！！！


三连同邻距的三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

(222337, 222367, 222437) 与 (667141, 667171, 667241) 及 (2001553, 2001583, 2001653)

(5021, 5171, 5581) 与 (15773, 15923, 16333) 及 (48029, 48029, 48179, 48589)

蔡家雄

π φ Σ  Φ  Ω  Γ ± ∞ ≠ ~ × ÷ ≤ ≥  ≈ ≡ √  ° ∈ ← ↑ → ↓  θ   ‖  ≌  ∴  ∵ ∥ α β θ ⊥ ∥  ∠  ⌒ ⊙  ≌  △
∏    ∑   ∕   ∝  ∟ ∠    ∣   ∥   ∧   ∨   ∩   ∪   ∫   ∮

ForIf [π > 3+√2/10]

ForIf [n = 9999999999999937;
CoprimeQ[IntegerPart[√n] !, n]]

For[n = k , If[Mod[Binomial[2 n, n], n^2] == 2,
  Print[n, "-----", PrimeQ[n]]], n]

s = 0;
For[n = 1; p = (2n)^2 - 4, p <= (2n+2)^2 - 4, p++,
If[(PrimeQ[p]) && (PrimeQ[p+4]), s = s + 1;
  Print[s, "-----", p, "-----", p+4]]]

ForIf[k = 0;
PrimeQ[30 k + 7] && PrimeQ[120 k + 29] &&
  PowerMod[10, 60 k + 14, 120 k + 29] == 120 k + 28]

In[38]:= ForIf[p = 2^6*821*823*827*829 + 1, u = 823, v = 827,
PowerMod[10, (p - 1)/2, p] != 1 && PowerMod[10, (p - 1)/u, p] != 1 &&
   PowerMod[10, (p - 1)/v, p] != 1]

Out[38]= ForIf[29647153804097, 823, 827, True]

则素数倒数 1/29647153804097 具有最大循环节长！！！


任一合数不可能同时通过三条件的素性测试，
—— 不信，这可是个世纪难题！
在10^7<n=k<10^8时，测试时间不超5分钟，

For[n = k ,
If[(Mod[2^(n - 1), n] == 1)
&& (Mod[Round[((1 + √5)/2)^n + ((1 - √5)/2)^n], n] == 1)
&& (Mod[Round[((1 + √2)^n + (1 - √2)^n)/2], n] == 1),
  Print[n, "-----", PrimeQ[n]]], n]

蔡家雄

蔡氏完全循环节问题

若 3^(2n)+2^(2n+1) 是素数，

则 10 是素数 3^(2n)+2^(2n+1) 的原根。

10 是素数 3^2+2^3=17 的原根，
10 是素数 3^4+2^5=113 的原根，
10 是素数 3^6+2^7=857 的原根，
10 是素数 3^12+2^13=539633 的原根，
10 是素数 3^22+2^23=31389448217 的原根，
10 是素数 3^32+2^33=1853028778786433 的原根，
10 是素数 3^36+2^37=150094772735952593 的原根，
10 是素数 3^46+2^47=8862938260389989451257 的原根，
10 是素数 3^80+2^81=147808829414348341167722439464732709953 的原根，
10 是素数 3^154+2^155=29969067287845284806900763424259354345695037325432711901413781193689500137 的原根，
10 是素数 3^236+2^237=39867234790105605031052158475473603885214702979674478224207279045242447503005351752119734009677347787327998900593 的原根，
10 是素数
3^250+2^251=190683748116796615589766511371277507701260429967651126103174761897479526555470283571068048447508517209471538025816027497 的原根，
10 是素数 3^992+2^993=201504468751837621839727977404685926835150439376946832443975059933977838339689818555216935505351023009283611903196552713908086356058621995407002396777618301177811343575418503951721787383304872793005232962627245632571105557936833267194815304366778547765493764740044293673929368039251196446446723938278591809721982615857996114286344721172111746288859733499249290109426007919969472996555103682274449696455944323255567670689270574629521811105681761209036785000603422679143272833 的原根，