数论小猜想

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-11-28 12:34
求证：\(\frac{1}{π}≈\frac{113}{355}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\) 有正整数解，

\[\frac{1}{π}≈\frac{113}{355}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{w}\]有多组正整数解，如：

{{4,15,609,864780},{4,15,610,259860},{4,15,612,108630},{4,15,615,58220},{4,15,620,33015},{4,15,630,17892},{4,15,639,12780},{4,15,660,7810},{4,15,710,4260},{4,15,780,2769},{4,15,852,2130},{4,15,1065,1420},{4,16,176,7810},{4,20,55,7810},{4,22,44,7810},{5,9,140,17892},{5,9,142,6390},{5,10,55,7810}}

蔡家雄

追梦的 59/61=1/2+1/3+1/10+1/30+1/1830（五个单位分数之和）

求解：59/61=1/x+1/y+1/z+1/w（四个单位分数之和）

真分数 59/m ，当 m>=2*59^2+2，均可表为三个单位分数之和，，，

真分数 11/m=1/x+1/y+1/z ，仅有一个37是例外的，不可能有第二个例外的，

分子4, 5, 6, 7 是优质分子，11, 是优良分子，，

蔡家雄

真分数 25/m=1/x+1/y+1/z 均有正整数解。

蔡家雄

求证：真分数 8/m=1/x+1/y+1/z 在1万以内仅有一个8*2+1=17是例外的，

求证：真分数 9/m=1/x+1/y+1/z 在1万以内仅有一个9*2+1=19是例外的，

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-11-29 23:14
求证：真分数 8/m=1/x+1/y+1/z 在1万以内仅有一个8*2+1=17是例外的，

求证：真分数 9/m=1/x+1/y+1/z 在1 ...

真分数 8/m=1/x+1/y+1/z 在1万以内仅有一个8*2+1=17是例外的，

结论错误，测试了一下，1万以内有4个数字：
{11, 17, 131, 241}

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-11-29 23:14
求证：真分数 8/m=1/x+1/y+1/z 在1万以内仅有一个8*2+1=17是例外的，

求证：真分数 9/m=1/x+1/y+1/z 在1 ...

真分数 9/m=1/x+1/y+1/z 在1万以内仅有一个9*2+1=19是例外的，

结论错误，测试了一下，1万以内有2个数字：
{11, 19}

蔡家雄

求解方程：\(y^2=45*x^2+4\) 的正整数解，

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-12-3 11:50
求解方程：\(y^2=45*x^2+4\) 的正整数解，

\[x_n=\frac{\left(\frac{1}{2} \left(\sqrt{45}+7\right)\right)^n-\left(\frac{1}{2} \left(7-\sqrt{45}\right)\right)^n}{\sqrt{45}}\]
\[y_n=\left(\frac{1}{2} \left(\sqrt{45}+7\right)\right)^n+\left(\frac{1}{2} \left(7-\sqrt{45}\right)\right)^n\]

蔡家雄

高难度计算

求：\(\sqrt{2}+\sqrt{6}\) 的渐近分数的 分子 的通解公式，

求：\(\sqrt{2}+\sqrt{6}\) 的渐近分数的 分母 的通解公式，

王守恩

蔡家雄 发表于 2023-12-5 12:30
高难度计算

求：\(\sqrt{2}+\sqrt{6}\) 的渐近分数的 分子 的通解公式，

谢谢 Treenewbee!  我只能依样画葫芦。谢谢 Treenewbee！

1. f=Convergents[Sqrt[2]+Sqrt[6],20]
   
2. Denominator@f
   
3. Numerator@f

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{3, 4, 27/7, 58/15, 85/22, 2608/675, 13125/3397, 28858/7469, 272847/70618, 847399/219323}
{1, 1, 7, 15, 22, 675, 3397, 7469, 70618, 219323, 289941, 3118733,15883606,82536763,180957132,
{3, 4, 27, 58, 85, 2608, 13125, 28858, 272847, 847399, 1120246, 12049859, 61369541, 318897564,